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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Komplexe Zahlen

Einheitswurzeln


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Die Gleichung

$\displaystyle z^n = 1
$

hat in $ \mathbb{C}$ genau $ n$ Lösungen

$\displaystyle z_k = w_n^k,\quad w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n),
\quad k=0,\ldots,n-1
\,,
$

die als Einheitswurzeln bezeichnet werden.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_Einheitswurzel.eps}

Wie in der Abbildung veranschaulicht ist, bilden die Einheitswurzeln ein dem Einheitskreis einbeschriebenes regelmäßiges $ n$-Eck.


Für die Berechnung der kubischen Einheitswurzel erhält man aus der allgemeinen Formel

$\displaystyle z_k = \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i} k}{3}} \qquad k = 0,1,2
\,,
$

d.h.
$\displaystyle z_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{0} = 1$  
$\displaystyle z_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i}}{3}}
=
\cos{\frac{2 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{2 \pi}{3}} =
-\frac{1}{2} + \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$  
$\displaystyle z_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{\frac{4 \pi \mathrm{i}}{3}}
= \cos{\frac{4 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{4 \pi}{3}} =
-\frac{1}{2} - \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\,
.$  


Die Wurzel $ z^{\frac{1}{3}}$ ist mehrdeutig, es existieren $ 3$ verschiedene Werte.

Analog bestimmt man die quartischen Einheitswurzeln $ 1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}$.

(Autoren: Höllig/Kopf)

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  automatisch erstellt am 5.5.2011