Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge
Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Komplexe Zahlen

Einheitswurzeln

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Die Gleichung

$\displaystyle z^n = 1 $

hat in $ \mathbb{C}$ genau $ n$ Lösungen

$\displaystyle z_k = w_n^k,\quad w_n = \exp(2\pi\mathrm{i}/n), \quad k=0,\ldots,n-1 \,, $

die als Einheitswurzeln bezeichnet werden.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_Einheitswurzel.eps}

Wie in der Abbildung veranschaulicht ist, bilden die Einheitswurzeln ein dem Einheitskreis einbeschriebenes regelmäßiges $ n$-Eck.

Für die Berechnung der kubischen Einheitswurzel erhält man aus der allgemeinen Formel

$\displaystyle z_k = \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i} k}{3}} \qquad k = 0,1,2 \,, $

d.h.
$\displaystyle z_0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{0} = 1$  
$\displaystyle z_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{\frac{2 \pi \mathrm{i}}{3}} = \cos{\frac{2 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{2 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} + \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}$  
$\displaystyle z_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp{\frac{4 \pi \mathrm{i}}{3}} = \cos{\frac{4 \pi}{3}} + \mathrm{i} \sin{\frac{4 \pi}{3}} = -\frac{1}{2} - \mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\, .$  


Die Wurzel $ z^{\frac{1}{3}}$ ist mehrdeutig, es existieren $ 3$ verschiedene Werte.

Analog bestimmt man die quartischen Einheitswurzeln $ 1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}$.

(Autoren: Höllig/Kopf)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 5.5.2011