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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Skalarprodukt

Kosinussatz


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In einem Dreieck gilt für den der Seite $ \overline{AB}$ gegenüberliegenden Winkel $ \gamma$

$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos\gamma\,
.
$

\includegraphics[width=.4\linewidth]{a_cosinussatz}

Als Spezialfall erhält man für $ \gamma = \pi/2$ den Satz des Pythagoras: $ c^2=a^2+b^2$ .


Der Beweis benutzt den Satz des Pythagoras.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{e_cosinussatz}

Es gilt

$\displaystyle c^2 = h^2 + q^2,\quad h^2 = a^2 - p^2
$

sowie

$\displaystyle q = b - p,\quad p = a \cos{\gamma}\,
.
$

Damit erhält man
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a^2-p^2) + (b-p)^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2 - p^2 + b^2 -2b(a\cos\gamma) + p^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2 + b^2 - 2ab\cos{\gamma} \,
,$  

wie gewünscht.

(Autoren: Höllig/Much)

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  automatisch erstellt am 17.3.2011