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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken

Normalform und Typ einer Quadrik mit Parameter

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Bestimmen Sie für den Kegelschnitt

$\displaystyle Q:\, 2x^2+2txy+2y^2-t^2-1=0 $

die Hauptachsen, den Typ und die Normalform in Abhängigkeit von dem reellen Parameter $ t$.

Antwort:
Hauptachsen (Angabe in kleinsten natürlichen Zahlen):
$ v_1=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$,
,         $ v_2=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ -$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

Typ:
$ t<-2$: Ellipse         Geradenpaar         Hyperbel         Parabel
$ t=-2$: Ellipse         Geradenpaar         Hyperbel         Parabel
$ 0\leq\vert t\vert<2$: Ellipse         Geradenpaar         Hyperbel         Parabel
$ t=2$: Ellipse         Geradenpaar         Hyperbel         Parabel
$ 2<t$: Ellipse         Geradenpaar         Hyperbel         Parabel

Normalform: $ ($ $ +$ $ t)\,\tilde{x}^2\, +\, ($ $ -$ $ t)\,\tilde{y}^2 = t^2\, +$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017