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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen - Übungen - Inverse und implizite Funktionen

Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung

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Bestimmen Sie für die Abbildung

$\displaystyle f(x,y) =(x^2-y^2, 2xy)^{\text{t}} $

a)
die Jacobi-Matrix $ \operatorname{J} f(x,y)$,
b)
für $ (x,y) \ne (0,0)$ die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung $ f^{-1}$ in Abhängigkeit von $ x$ und $ y$,
c)
die Jacobi-Matrix $ \operatorname{J} g(x,y)$ für $ g=f\circ f$.

Antwort:

a)
$ \operatorname{J} f(x,y)=2$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ -$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $

b)
$ \operatorname{J} (f^{-1})(x,y)=1/(2($$ ^2+$$ ^2))$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ -$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $

c)
$ \operatorname{J} g(x,y)=\operatorname{J} $$ ($ $ (x,y))\operatorname{J} $(x,y)

$ \operatorname{J} g(x,y)=$
$ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ ^3-3$ $ ^2$ $ ^3-3$ $ ^2$
$ -$$ ^3+3$ $ ^2$ $ ^3-3$ $ ^2$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right) $


(Einträge jeweils nur ein Buchstabe)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017