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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen - Übungen - Anwendungen partieller Ableitungen

Implizite Funktion lokal auflösen und Taylor-Entwicklung bestimmen

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Bestimmen Sie den Gradienten der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=y {e}^{x}-x^2 {e}^{y} $

sowie die Gleichungen der Tangenten an die implizit definierte Kurve $ C:\, f(x,y)=0$ in den Punkten $ (0,0)$ und $ (1,1)$. In welchem der beiden Punkte stellt $ C$ lokal den Graph einer Funktion $ y=\varphi(x)$ dar? Bestimmen Sie die quadratische Taylor-Entwicklung $ p(x,y)$ von $ \varphi$ um diesen Punkt.

Antwort:

$ \operatorname{grad} f$:
$ \left(\begin{array}{c} y {e}^{x}-x^2 {e}^{\,y} \\ {e}^{x}-2x {e}^{\,y}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c} {e}^{x}-2x {e}^{\,y} \\ {e}^{x}-x^2 {e}^{\,y}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c} y {e}^{x}-2x {e}^{\,y} \\ {e}^{x}-x^2 {e}^{\,y}\end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c} {e}^{x}-2x {e}^{\,y} \\ y {e}^{x}-x^2 {e}^{\,y}\end{array}\right)$



Tangenten:
    in $ (0,0)$:    $ y=$ $ x$ $ +$
    in $ (1,1)$:    $ x=$ $ y$ $ +$

lokal auflösbar in:     $ (x_\ast,y_\ast)=(0,0)$ ,      $ (x_\ast,y_\ast)=(1,1)$

$ p(x,y) = y_*$ $ +$ $ (x-x_*)$ $ +$ $ (x-x_*)^2 $
   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017