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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Übungen - Integralsätze von Gauß, Stokes und Green

Fluss durch Oberfläche eines Zylinders, Zerlegung eines Vektorfeldes in radiale, axiale und vertikale Komponenten

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Gegeben sei das Vektorfeld

$\displaystyle p(x,y,z)=\left(\frac{y}{x^2+y^2},\;\frac{-x}{x^2+y^2},\;z\right)^$t$\displaystyle ,\quad (x,y)\ne(0,0) \,. $

a)
Zerlegen Sie $ p$ in eine radiale, axiale und vertikale Komponente, d.h. bestimmen Sie skalare Funktionen $ f(\rho,\varphi,z),\,g(\rho,\varphi,z)$ und $ h(\rho,\varphi,z)$ so, dass

$\displaystyle p = f e_{\rho} + g e_\varphi + h e_z\ , $

mit $ e_{\rho} = (\cos \varphi, \sin \varphi,0)^$t, $ e_\varphi = (-\sin \varphi, \cos \varphi,0)^$t, $ e_z =(0,0,1)^$t.
b)
Berechnen Sie den Fluss $ \Phi$ von $ p$ durch die Oberfläche des Zylinders

$\displaystyle Z:\,\,x^2+y^2 \leq r^2,\ 0 \leq z \leq s, \qquad r,s>0 $

von innen nach außen.
Hinweis: Der Satz von Gauß ist hier nicht anwendbar, da das Vektorfeld nicht im gesamten Inneren des Zylinders definiert ist.

Antwort:

a)
$ f=$ ,         $ g=$ $ /$,         $ h=$
b)
Fluss durch den Boden:
Fluss durch den Deckel: $ r^2s$
Fluss durch den Mantel:
Fluss durch die gesamte Oberfläche: $ r^2s$
(auf drei Nachkommastellen gerundet)
   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017