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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Übungen - Integralsätze von Gauß, Stokes und Green

Volumen- und Flussintegrale auf dem Standard-Tetraeder

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Für den Tetraeder

$\displaystyle V:\, x,y,z\geq 0,\quad x+y+z\leq 1\,, $

bezeichne $ d\vec S$ das nach außen gerichtete Flächenelement von $ S=\partial V$. Berechnen Sie für

$\displaystyle U(x,y,z)=\mathrm{e}^{x+y+z}\,, \qquad W(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} $

die Integrale

$\displaystyle I_{1}=\iiint\limits_{V}U\Delta W\; dV \,, \quad I_{2}=\iint\limi... ..._{3}=\iiint\limits_{V}\operatorname{grad}U \cdot \operatorname{grad}W\; dV \,. $

Hinweis: Verwenden Sie, dass $ \operatorname{grad}W\perp d\vec{S}_{k}$ für die Randdreiecke $ S_{k}$, welche den Ursprung enthalten.

Antwort:
$ I_1=$ ,          $ I_2=$ ,          $ I_3=$
(auf vier Nachkommastellen gerundet)
   

(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017