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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Übungen - Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Stromstärke in einem Schwingkreis

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#./aufgabe639.tex#Die Stromstärke $ u$ in dem abgebildeten Schwingkreis wird durch die Differentialgleichung $ u^{\prime\prime}+2u^\prime+u=f(t)$ beschrieben.


\includegraphics[width=0.32\linewidth]{g143_bild1}
a)
Bestimmen Sie die periodische Lösung $ u_p=c\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ für $ f(t)={\rm {e}}^{\mathrm{i}\omega t}$, sowie den Betrag der komplexen Amplitude $ c$.
b)
Bestimmen Sie für $ f=0$ die Lösung $ u$ zu den Anfangswerten

$\displaystyle u(0)=u_p(0), \qquad u^{\prime}(0)=u_p^{\prime}(0) $

(Ausschalten des Schwingkreises bei $ t=0$).
c)
Für welches $ t=t_*>0$ wird $ \vert u(t)\vert^2$ maximal? Bestimmen Sie das Verhältnis $ {\displaystyle{{\vert u(t_*)\vert}/{\vert c\vert}}}$. Welches physikalische Phänomen wird für große $ \omega$ durch dieses Beispiel illustriert?

(Autor: Klaus Höllig)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017