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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Elementare Geometrie: Dreiecke

Sinussatz


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In einem Dreieck
\includegraphics{geo_bild01}
verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:

$\displaystyle \frac{\sin \alpha }{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma }{c}$

oder

$\displaystyle \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = a:b:c \,. $

(Autor: Vorkurs Mathematik)

Zur Herleitung des Sinussatzes unterteilt man das Dreieck mit Hilfe der Höhen jeweils in zwei rechtwinklige Dreiecke.

\includegraphics{geo_bild10}

Mit den Bezeichnungen in der Abbildung gilt

$\displaystyle \sin \alpha = \frac{h}{b}
\,,\quad
\sin \beta = \frac{h}{a}
\,.
$

Damit folgt

$\displaystyle \sin \alpha : \sin \beta = \dfrac{h}{b} : \dfrac{h}{a} = a:b\,. $

Die übrigen Verhältnisse können analog hergeleitet werden.
(Autor: Vorkurs Mathematik)

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  automatisch erstellt am 23.10.2009