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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Lineare Gleichungssysteme

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

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Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten $ x$ und $ y$ hat die Form

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} ax & + & by &=& f \\ cx & + & dy &=& g\,, \end{array}\end{displaymath}

wobei in jeder Gleichung mindestens einer der Koeffizienten $ a,\dots,d$ ungleich Null ist. Es ist genau dann für alle rechten Seiten $ (f,g)$ eindeutig lösbar, wenn

$\displaystyle \Delta = ad-bc\neq 0\,. $

Die Lösung

$\displaystyle x=\frac{df-bg}{\Delta}\,,\qquad\quad y=\frac{ag-cf}{\Delta} $

lässt sich als Schnittpunkt der durch die beiden Gleichungen beschriebenen Geraden interpretieren.
\includegraphics[width=6cm]{lgsgeraden}
Ist $ \Delta=0$, so sind die Geraden parallel. In diesem Fall existiert entweder keine Lösung oder, wenn die Geraden zusammenfallen, unendlich viele Lösungen.
Multipliziert man die erste Gleichung mit $ c$ und die zweite mit $ a$, so folgt

$\displaystyle cax + cby = cf \,, \qquad acx + ady = ag\,. $

Nach Subtraktion ist

$\displaystyle \underbrace{(ad - bc)}_{\Delta} y = ag - cf $

und man erhält die gewünschte Formel für $ y$. Die Formel für $ x$ beweist man analog.

Für $ \Delta = 0$ gilt

$\displaystyle c = \lambda a \,, \qquad d = \lambda b $

mit einem $ \lambda \neq 0$. In diesem Fall haben die Geraden die gleiche Steigung, sind also parallel. Jenachdem, ob $ a$ oder $ b$ ungleich Null ist, kann $ \lambda = \frac{c}{a}$ oder $ \lambda = \frac{b}{d}$ gesetzt werden. Offensichtlich kann das Gleichungssystem nur dann Lösungen besitzen, wenn $ g = \lambda f$, d.h. wenn die Geraden identisch sind.
(Autoren: Höllig/Kreitz)
Als Beispiel wird das Gleichungssystem
$\displaystyle 2x + 3y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 7$  
$\displaystyle 5x - 4y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6$  

betrachtet. Mit

$\displaystyle \Delta = 2 \cdot (-4) - 3 \cdot 5 = -23 $

erhält man

$\displaystyle x = \frac{(-4)\cdot 7 - 3 \cdot 6}{-\Delta} = 2 \,, \qquad y = \frac{2\cdot 6 - 5 \cdot 7}{-\Delta} = 1 \,. $

Alternativ kann man auch die erste Gleichung nach $ y$ auflösen,

$\displaystyle y = \frac{7 - 2x}{3} = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} x, $

und in die zweite einsetzen:

$\displaystyle 5x - 4(\frac{7}{3} - \frac{2}{3} x) = 5x + \frac{8}{3}x - \frac{28}{3} = 6\,. $

Damit folgt ebenfalls

$\displaystyle x = 2 $

und aus der ersten Gleichung $ y = 1$.
(Autoren: Höllig/Kreitz)
Als Beispiel wird das Gleichungssystem
$\displaystyle x - 2y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$  
$\displaystyle -2x +4y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t$  

mit einem Parameter $ t$ betrachtet.

Da

$\displaystyle \Delta = 1 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2) = 0 $

sind die den Gleichungen entsprechenden Geraden parallel:

$\displaystyle y = \frac{1}{2} x + b_k $

mit $ b_1 = \frac{1}{2}$ und $ b_2 = \frac{t}{4}$. Lösungen existieren nur dann, wenn die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten ist, also falls

$\displaystyle t = (-1) \cdot (-2) = 2\,. $

In diesem Fall sind die Gleichungen äquivalent, es muss also nur eine gelöst werden. Wählt man die erste Gleichung, so kann $ x$ beliebig gewählt werden und

$\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \,. $

Die Lösungsmenge ist also eine Gerade durch $ (0, \frac{1}{2})$ mit Steigung $ \frac{1}{2}$.
(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009