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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Vektorräume

Lineare Hülle

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Die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren $ v_1, \ldots , v_n$ eines $ K$-Vektorraums $ V$ nennt man die lineare Hülle der $ v_i$ und bezeichnet sie mit

$\displaystyle \operatorname{span}(v_1,\ldots, v_n)=\{\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \cdot v_i : \lambda_i \in K\}. $

Entsprechend definiert man für eine Menge $ U$ von Vektoren $ \operatorname{span}(U)$ als die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus $ U$.

Für jede Teilmenge $ U \in V$ ist $ \operatorname{span}(U)$ ein Unterraum von $ V$.

(Autoren: App/Kimmerle)
Betrachtet man zwei verschiedene Ursprungsgeraden $ g_1$ und $ g_2$ im $ \mathbb{R}^{3}$, z. B.

$\displaystyle g_1:x=\lambda_1(1,0,0)^{\operatorname t},\, g_2: x=\lambda_2(0,1,0)^{\operatorname t},\quad \lambda_i\in\mathbb{R}, $

so sind diese jeweils die lineare Hülle der Richtungsvektoren; hier

$\displaystyle v_1=(1,0,0)^{\operatorname t},\, v_2=(0,1,0)^{\operatorname t}\,.$

Die lineare Hülle der Vektoren $ v_1$ und $ v_2$ ist dann die Ebene $ E = \operatorname{span}(v_{1},v_{2})$, die die Geraden $ g_1$ und $ g_2$ enthält; hier also

$\displaystyle E : x=\lambda_1(1,0,0)^{\operatorname t}+\lambda_2(0,1,0)^{\operatorname t},\quad \lambda_i\in\mathbb{R}\; , $

bzw. $ E = \{x:\, x_3=0\}$.

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009