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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Mengen | ||
Eigenschaften von Relationen |
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Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so wird sie Äquivalenzrelation genannt. Es wird dann meist statt geschrieben. Eine Äquivalenzrelation unterteilt die Menge in disjunkte Teilmengen (Äquivalenzklassen), wobei zwei Elemente einer Teilmenge zueinander in Relation stehen (äquivalent sind), während zwei Elemente aus unterschiedlichen Teilmengen dies nicht tun.
Ist eine Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, so ist sie eine Halbordnung und man schreibt meist statt . Ist eine Halbordnung zusätzlich total, heißt sie (totale) Ordnung und heißt durch geordnet.
Die Relation ,,hat gleich viele Elemente wie`` ist eine Äquivalenzrelation in der Potenzmenge einer endlichen Menge denn es gilt: (reflexiv), (symmetrisch) und (transitiv).
Die Abbildung zeigt den Graph der Relationen als Teilmenge von . Die Relation ist symmetrisch, aber weder reflexiv ( ) noch transitiv. Zum Beispiel haben und den gemeinsamen Teiler und und den gemeinsamen Teiler , aber und haben keinen gemeinsamen Teiler. Also gilt
Die Relation ist eine Äquivalenz-Relation. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind offensichtlich erfüllt. Die Äquivalenzklassen sind
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automatisch erstellt am 23.10.2009 |