Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik-Grundlagen-Mengen-Eigenschaften von Relationen

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	Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Mengen
	Eigenschaften von Relationen

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Eine Relation $R\subseteq A^2$ in einer Menge

heißt

reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht: $\forall a\in A: (a,a) \in R$
symmetrisch, wenn die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt: $(a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R$
antisymmetrisch, wenn aus der Symmetrie die Identität folgt: $(a,b) \in R \land (b,a) \in R \Rightarrow a=b$
transitiv, wenn aus einer Kette das mittlere Element entfernt werden kann: $(a,b) \in R \land (b,c) \in R \Rightarrow (a,c)\in R$
total, wenn je zwei Elemente in mindestens einer Richtung in Relation stehen: $\forall a,b\in A: (a,b) \in R \lor (b,a) \in R$

Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so wird sie Äquivalenzrelation genannt. Es wird dann meist $a\sim b$ statt $a \operatorname{R}b$ geschrieben. Eine Äquivalenzrelation unterteilt die Menge in disjunkte Teilmengen (Äquivalenzklassen), wobei zwei Elemente einer Teilmenge zueinander in Relation stehen (äquivalent sind), während zwei Elemente aus unterschiedlichen Teilmengen dies nicht tun.

Ist eine Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, so ist sie eine Halbordnung und man schreibt meist $a \leq b$ statt $a \operatorname{R}b$ . Ist eine Halbordnung zusätzlich total, heißt sie (totale) Ordnung und heißt durch $\leq$ geordnet.

(Autor: J. Hörner)

Die Mengeninklusion $\subseteq$ ist eine Halbordnung in der Potenzmenge ${\cal P}(M)$ einer Menge

denn es gilt: $A\subseteq A$ (reflexiv), $A\subseteq B \land B \subseteq A \Rightarrow A=B$ (antisymmetrisch) und $A\subseteq B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$ (transitiv). Hat

mehr als ein Element, so ist die Inklusion aber keine Ordnung, denn dann gilt für

$\displaystyle a,b \in M, a\neq b: \{a\} \not\subseteq \{b\} \land \{b\} \not\subseteq \{a\} \,,$

das heißt sie ist nicht total.

Die Relation ,,hat gleich viele Elemente wie`` ist eine Äquivalenzrelation in der Potenzmenge ${\cal P}(M)$ einer endlichen Menge denn es gilt: $\vert A\vert=\vert A\vert$ (reflexiv), $\vert A\vert=\vert B\vert \Rightarrow \vert B\vert=\vert A\vert$ (symmetrisch) und $\vert A\vert=\vert B\vert=\vert C\vert \Rightarrow \vert A\vert =\vert C\vert$ (transitiv).

(Autor: J. Hörner)

Relationen bzw. Äquivalenz-Relationen auf Mengen werden oft durch Eigenschaften der Elemente definiert. Als Beispiel werden zwei Relationen auf

$\displaystyle M = \lbrace 1,2,\dots,12 \rbrace$

betrachtet:

$x\ R_1\ y$ : und haben einen gemeinsamen Teiler $\neq 1$
$x\ R_2\ y$ : und haben gleichviele Teiler

$\includegraphics[width=0.45\moimagesize]{relationen1.eps}$ $\includegraphics[width=0.45\moimagesize]{relationen2.eps}$

Die Abbildung zeigt den Graph der Relationen als Teilmenge von $M \times M$ . Die Relation ist symmetrisch, aber weder reflexiv ( $(1,1) \not\in R_1$ ) noch transitiv. Zum Beispiel haben und den gemeinsamen Teiler und und den gemeinsamen Teiler , aber und haben keinen gemeinsamen Teiler. Also gilt