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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Gleichungen und Ungleichungen

Äquivalenzumformungen

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Gleichungen die den selben Definitionsbereich und die selbe Menge von Lösungen besitzen nennt man äquivalent. Solche äquivalenten Gleichungen lassen sich durch so genannte Äquivalenzumformungen ineinander überführen. Bei Zahlengleichungen sind Äquivalenzumformungen z.B. das Addieren oder Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung. Auch das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit einem Term ($ \neq 0$) liefert eine Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformungen werden oft mit einem senkrechten Strich hinter der Gleichung notiert.

Betrachtet man zum Beispiel die Gleichung

$\displaystyle x+3=3x-7 $

mit dem Definitionsbereich $ \mathbb{R}$, dann kann auf beiden Seiten $ x$ subtrahiert werden. Man schreibt dann

\begin{displaymath} \begin{array}{ccccl} &x+3&=&3x-7&\vert-x\\ \Longleftrightarrow& 3 &=&2x-7& . \end{array}\end{displaymath}

Im einem nächsten Schritt kann man auf beiden Seiten 7 addieren und danach die Gleichung auf beiden Seiten mit $ 1/2$ multiplizieren, und man erhält

\begin{displaymath} \begin{array}{ccccl} &x+3&=&3x-7&\vert-x\\ \Longleftrightar... ... &\vert\cdot 1/2\\ \Longleftrightarrow& 5 &=&x &. \end{array}\end{displaymath}

Die Lösung der Gleichung ist also $ x=5$.
(Autor: Vorkurs Mathematik)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009