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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Komplexe Zahlen

Gaußsche Zahlenebene

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Komplexe Zahlen $ z=x+\mathrm{i}y$ lassen sich mit den Punkten der Ebene identifizieren. Der Betrag entspricht dem Abstand vom Ursprung, Real- und Imaginärteil sind die Projektionen auf die reelle bzw. imaginäre Achse, und die konjugiert komplexe Zahl ergibt sich durch Spiegelung an der reellen Achse.

\includegraphics[width=0.4\moimagesize]{a_gausssche_bild1} \includegraphics[width=0.4\moimagesize]{a_gausssche_bild2}

In Polarkoordinaten erhält man aus der Formel von Euler-Moivre die Darstellung

$\displaystyle z = r(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi) = r \exp(\mathrm{i}\varphi) $

mit $ r = \vert z\vert$. Der Winkel $ \varphi$ ist nur bis auf Vielfache von $ 2\pi$ bestimmt und wird als Argument von $ z$ bezeichnet:

$\displaystyle \varphi = \operatorname{arg}(z)\, . $

Als Standardbereich (Hauptwert) wird das Intervall $ (-\pi,\pi]$ vereinbart.

Es gilt

$\displaystyle \tan\varphi = \frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)}\, , $

Das Argument $ \operatorname{arg}(z)$ kann also mit Hilfe der Arcustangens-Funktion aus dem Quotienten $ y/x$ bestimmt werden. Dabei ist der richtige Zweig zu wählen, d. h., falls $ \operatorname{Re}(z)<0$ muß $ \pi$ oder $ -\pi$ zum Wert der Umkehrfunktion addiert werden.

Die Polardarstellung einiger komplexer Zahlen ist in der folgenden Tabelle angegeben.

$ z$ $ 1$ $ -1$ $ \pm\mathrm{i}$ $ 1\pm\mathrm{i}$ $ \sqrt{3}\pm\mathrm{i}$ $ 1\pm\sqrt{3}\mathrm{i}$
$ r$ $ 1$ $ 1$ $ 1$ $ \sqrt{2}$ $ 2$ $ 2$
$ \varphi$ 0 $ \pi$ $ \pm\pi/2$ $ \pm\pi/4$ $ \pm\pi/6$ $ \pm\pi/3$

Um $ z = 1 + \sqrt{3}\mathrm{i}$ in Polarform umzuwandeln bildet man

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2,\quad \arctan(\sqrt{3}) = \pi/3\, . $

Da $ \operatorname{Re} z\ge0$, stimmt dieser Winkel mit arg$ \,z$ überein, und man erhält
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\,\exp(\mathrm{i}\pi/3)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left(\cos(\pi/3)+\mathrm{i}\sin(\pi/3)\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,.$  

Für $ z = -1 + \mathrm{i}$ ist

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{2},\quad \arctan(-1) = -\pi/4\, . $

Da in diesem Fall Re$ \,z<0$ ist, unterscheidet sich das Argument von $ z$ um $ \pm\pi$. Der Hauptwert ist

   arg$\displaystyle \,z = -\pi/4+\pi = 3\pi/4 $

und es folgt

$\displaystyle z = \sqrt{2}\exp(\mathrm{i}(3\pi/4))\, . $

Aus der Formel von Euler-Moivre erhält man

$\displaystyle 2\exp(\mathrm{i}\pi/6)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(\cos(\pi/6) + \mathrm{i}\sin(\pi/6))$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3} + \mathrm{i}\, .$  

(Autoren: Höllig/Kopf)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009