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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Aussagenlogik

Direkter Beweis

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Eine Behauptung $ B$ kann bewiesen werden, indem sie aus bekannten wahren Aussagen $ A$ hergeleitet oder auf solche zurückgeführt wird:

$\displaystyle A \Longrightarrow B \,. $

Die Aussagen $ A$ können dabei auch Voraussetzungen beinhalten, die für die Gültigkeit der Behauptung $ B$ notwendig sind.
Als Beispiel wird der Satz des Thales gezeigt. Dieser besagt, dass alle einem Halbkreis einbeschriebenen Dreiecke rechtwinklig sind.

\includegraphics[width=8cm]{thales.eps}

Der direkte Beweis stützt sich auf zwei Sätze:

(i)
Die Winkelsumme in einem Dreieck ist $ \pi$.
(ii)
Die Basiswinkel bei einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich.
Angewandt auf die Dreiecke $ \Delta (A M C)$ und $ \Delta (C M B)$ folgt daraus

$\displaystyle \sphericalangle ACM = \frac{\pi - \alpha}{2}, \qquad \sphericalangle MCB = \frac{\pi - \beta}{2}. $

Damit ist

$\displaystyle \sphericalangle ACB = \pi - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} $

und wegen $ \alpha + \beta = \pi$ also gleich $ \pi / 2$.
(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009