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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Funktionen

Umkehrfunktion

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Die Umkehrfunktion einer injektiven Funktion $ f: D\to W$ mit Definitionsbereich $ D$ und Wertebereich $ W\subseteq \mathbb{R}$ ist durch

$\displaystyle f^{-1}: W \to D \subseteq \mathbb{R}, \; x \mapsto f^{-1}(x)$

definiert. Dabei gilt

$\displaystyle y = f(x) \; \Longleftrightarrow \; x = f^{-1}(y).$

Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist der Wertebereich von $ f$. Ihr Graph $ y=f^{-1}(x)$ ist das Spiegelbild des Graphen von $ f$ an der ersten Winkelhalbierenden $ (y=x)$:

\includegraphics[clip,width=.45\linewidth]{Umkehrfunktion}

Die Schreibweise $ f^{-1}(x)$ kann leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert $ f(x)^{-1}=\frac{1}{f(x)}$ führen. Insbesondere, wenn das Argument $ x$ der Funktion weggelassen wird, sollte aus dem Zusammenhang klar sein, was gemeint ist.

Die Umkehrfunktion wird praktisch durch Vertauschen von $ x$ und $ y$ berechnet. Für die Funktion

$\displaystyle f: \mathbb{R}\backslash(-1,1] \to \mathbb{R}\backslash(-1,1] \;$   mit$\displaystyle \; f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$

erhalten wir z.B.:

$\displaystyle y^2 = \frac{{x^2-1}}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1} \;\; \Longrightarrow \;\; y^2x - y^2 = x+1 $

$\displaystyle \Longrightarrow \; x(y^2-1) = y^2+1 \; \Longrightarrow \; x = \frac{y^2+1}{y^2-1}. $

Die Umkehrfunktion von $ f$ ist also $ f^{-1}: \mathbb{R}\backslash(-1,1] \to \mathbb{R}\backslash(-1,1]\;$ mit $ \;f^{-1}(x) = \dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.
(Aus: Vorkurs Mathematik)
Die folgenden Abbildungen zeigen Beispiele einiger Umkehrfunktionen.

\includegraphics[clip,width=.4\linewidth]{wurzel_u_inv} \includegraphics[clip,width=.4\linewidth]{inv_x}
\includegraphics[clip,width=.4\linewidth]{tan_u_inv} \includegraphics[clip,width=.4\linewidth]{exp_u_inv}

In der nachfolgenden Tabelle sind die jeweiligen Definitionsbereiche angegeben:

$ f$ $ D$ $ f^{-1}$ $ D$
$ x^2$ $ \mathbb{R}$ $ \sqrt{x}$ $ [0,\infty)$
$ e^x$ $ \mathbb{R}$ $ \ln(x)$ $ (0,\infty)$
$ \frac{1}{x}$ $ \mathbb{R}\setminus\{0\}$ $ \frac{1}{x}$ $ \mathbb{R}\setminus\{0\}$
$ \tan x$ $ \mathbb{R}\setminus\{x\,:\,x=(2z+1)\pi/2 \,\,,z\in\mathbb{Z}\}$ $ \arctan x$ $ \mathbb{R}$

(Autoren: Höllig/Hörner/Knesch)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009