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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Differentialrechnung

Ableitung

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Eine Funktion $ f$ ist in einem Punkt $ a$ differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert

$\displaystyle f'(a)= \lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $

existiert.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{a_ableitung_bild_1}

Geometrisch bedeutet Differenzierbarkeit, dass die Steigungen der Sekanten gegen die Steigung der durch

$\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a) $

gegebenen Tangente konvergieren.
Man schreibt auch

$\displaystyle f'(x) = \displaystyle\frac{d}{dx}f(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}\, $

mit $ y = f(x)$. Diese Schreibweise symbolisiert den Grenzübergang $ \Delta{x} \rightarrow 0$ in dem Differenzenquotienten

$\displaystyle \displaystyle\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{x + \Delta{x} - x}\,. $

Höhere Ableitungen werden mit $ f'',f''',\ldots$ bzw. $ f^{(2)},f^{(3)},\ldots$ bezeichnet.
Eine Funktion $ f$ heißt differenzierbar auf einer Menge $ D$, wenn $ f^\prime (x)$ für alle $ x \in D$ existiert.
Für die Ableitung der Funktion $ f(x)=x^2$ erhält man definitionsgemäß

$\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h\to0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0} \frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to0} (2x+h)=2x\,. $

Die zweite Ableitung ist konstant: $ f^{\prime\prime}(x) = 2$.

Allgemein folgt für ein beliebiges Monom $ f(x) = x^n$, $ n\in\mathbb{N}$, mit Hilfe der binomischen Formel

$\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\binom{n}{1} x^{n-1}h + O(h^2)}{h} = nx^{n-1}\,, $

wobei $ O(h^2)$ Terme der Ordnung $ h^2$ bezeichnet.
Die Ableitung von $ f(x)=\sin x $ läßt sich mit Hilfe des Additionstheorems berechnen.

Aus

$\displaystyle \sin(t\pm h/2)=\sin t\cos(h/2) \pm \cos t \sin(h/2) $

folgt mit $ t=x+h/2$ für den Differenzenquotient
$\displaystyle \frac{\sin(x+h)-\sin x }{h}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\big((x+h/2)+h/2\big)-\sin\big((x+h/2)-h/2\big)}{h}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\cos(x+h/2)\sin(h/2)}{h}\,.$  

Wegen

$\displaystyle \lim_{h \to0} \frac{2\sin(h/2)}{h}= \lim_{h \to0} \frac{\sin(h/2)}{h/2}=1 $

strebt die rechte Seite für $ h\to0$ gegen $ \cos x $.
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  automatisch erstellt am 23.10.2009