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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Differentialrechnung

Produktregel

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Die Ableitung des Produktes zweier differenzierbarer Funktionen $ f$ und $ g$ ist

$\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,. $

Allgemeiner gilt für ein Produkt $ f = f_1 \cdots f_n$

$\displaystyle f' = \sum_{i = 1}^{n} f_{i}' \frac{f}{f_i}\,. $

Mit der Produktregel folgt

$\displaystyle \frac{d}{dx} (x^2 \ln x) = 2x \ln x + x^2 \frac{1}{x} = x (2 \ln x +1 )\,. $

Fügt man $ \sin x$ als Faktor hinzu, so ergibt eine nochmalige Anwendung der Produktregel

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \sin x (x^2 \ln x )\right] = \cos x (x^2 \ln x) + \sin x (x(2 \ln x + 1)) \,. $

Alternativ kann man die Formel für ein mehrfaches Produkt verwenden und erhält

$\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \sin x (x^2 \ln x) \right] = \cos x (x^2 \ln x) + 2x (\sin x \ln x) + \frac{1}{x} (\sin x\, x^2 )\,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009