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Mathematik-Online:

Notationen

Auf dieser Seite finden Sie die im Projekt Mathematik-Online verwendeten Notationen für mathematische Objekte.

Allgemeines:

Fließkommazahlen werden mit einem Dezimalpunkt dargestellt. Eine Gruppierung der Ziffern erfolgt nicht. Stellenverschiebungen werden durch anhängen von $ \cdot 10^n$ oder $ \mathrm{E}$ gefolgt von der Anzahl der Stellen angezeigt.

Gemischte Zahlen (Zahl gefolgt von einem Bruch) werden nicht verwendet: $ \frac{43}{4} \neq 10 \frac{3}{4} = \frac{30}{4} $

Die Klammern hinter Operatoren können entfallen, falls der Operator auf eine Variable angewendet wird.

Konstanten:

$ \mathrm{i}$ komplexe Einheit; $ \mathrm{i}^2+1=0$
$ e$ Eulersche Zahl; $ e = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
$ \pi$ Kreiszahl; $ \pi \approx 3.14159$

Bezeichner:

Primzahlen,
Zähler und Nenner von Brüchen		 kleine kursive Buchstaben, möglichst $ p, q$
ganze Zahlen kleine kursive Buchstaben, möglichst $ i, j, k, l, m, n$
reelle und komplexe Zahlen,
Vektoren		 kleine kursive Buchstaben, möglichst nicht
$ f, g, h, i, j, k, l, m, n, p, q$
Skalarfaktoren in
(Vektor-)Gleichungen		 kleine griechische Buchstaben
Punkte große kursive Buchstaben, möglichst $ P, Q, R$
Matrizen große kursive Buchstaben
Mengen große kursive Buchstaben $ A, B, \ldots $
Kurven möglichst $ C, K$
(Ober-)Flächen möglichst $ F, S$
Volumina möglichst $ V$
Zahlmengen $ \mathbb{N},\mathbb{N}_0,\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$
Elemente von Mengen kleine kursive Buchstaben
Mengen von Mengen große kaligraphische Buchstaben $ {\cal A},{\cal B},\ldots$
leere Menge $ \emptyset$
Funktionen kleine kursive Buchstaben, möglichst $ f,g,h$
Polynome kleine kursive Buchstaben, möglichst $ p, q$

Mengenlehre:

$ \{a,b,c,\ldots\}$ Mengendefinition: Aufzählung der Elemente durch Kommata getrennt in geschweiften Klammern
$ a \in A$ $ a$ ist Element der Menge $ A$
$ a \not\in A$ $ a$ ist nicht Element der Menge $ A$
$ \{m\in M : A(m)\}$ Mengendefinition: Menge aller Elemente aus $ M$ für die die Aussage $ A(m)$ wahr ist
$ B \subseteq A$ $ B$ ist Teilmenge der Menge $ A$
$ B \subset A$ $ B$ ist echte Teilmenge der Menge $ A$
$ A \cup B$ Vereinigungsmenge von $ A$ und $ B$
$ A \cap B$ Schnitt der Mengen $ A$ und $ B$
$ A \setminus B$ Menge aus den Elementen von $ A$, die nicht Element von $ B$ sind
$ A \Delta B$ symmetrische Differenz von $ A$ und $ B$: $ A \Delta B = (A \cup B)\setminus (A\cap B)$
$ \partial A$ Rand der Menge $ A$
$ \overline{A}$ Abschluß der Menge $ A$
$ \overset{\circ}{A}$ Inneres der Menge $ A$
$ \operatorname{dist}(A,B)$ Abstand der Mengen $ A$ und $ B$
$ \operatorname{dist}(a,B)$ Abstand von $ a$ zur Menge $ B$: $ \operatorname{dist}(a,B) = \operatorname{dist}(\{a\},B)$
$ {\cal P}(M)$ Potenzmenge von $ M$, Menge aller Teilmengen von $ M$
$ \mathbb{N}$ Menge der natürlichen Zahlen; $ \mathbb{N}=\{1,2, \ldots \}$
$ \mathbb{Z}$ Menge der ganzen Zahlen
$ \mathbb{Q}$ Menge der rationalen Zahlen
$ \mathbb{R}$ Menge der reellen Zahlen
$ \mathbb{C}$ Menge der komplexen Zahlen
$ \mathbb{R}^+$ Menge der positiven reellen Zahlen; entsprechend: $ \mathbb{Z}^+, \mathbb{Q}^+$
$ \mathbb{R}^-$ Menge der negativen reellen Zahlen; entsprechend: $ \mathbb{Z}^-, \mathbb{Q}^-$
$ \mathbb{N}_0$ $ \mathbb{N} \cup \{0\}$; entsprechend: $ \mathbb{Q}^+_0, \mathbb{R}^+_0, \mathbb{Z}^-_0, \mathbb{Q}^-_0, \mathbb{R}^-_0$
$ \mathbb{R}^\ast$ $ \mathbb{R} \setminus \{0\}$; entsprechend: $ \mathbb{Z}^\ast, \mathbb{Q}^\ast,\mathbb{C}^\ast$

komplexe Zahlen:

$ z=x+\mathrm{i}y$ $ x,y \in \mathbb{R}\,,\, \mathrm{i}$: imaginäre Einheit, $ \mathrm{i}^2+1=0$
$ \vert x+{\mathrm{i}\,}y\vert$ Betrag der komplexen Zahl; $ \vert x+{\mathrm{i}\,}y\vert$= $ \sqrt{x^2+y^2}$
$ \arg(z)$ Argument der komplexen Zahl, Winkel $ \vartheta$ in der Darstellung $ z=\vert z\vert e^{{\mathrm{i}\;}\vartheta}$; Der Hauptwert liegt im Bereich $ (-\pi,\pi]$
$ \overline{x+{\mathrm{i}\,}y}$ konjugiert komplexe Zahl; $ \overline{x+{\mathrm{i}\,}y}$= $ x-{\mathrm{i}\,}y$
$ \operatorname{Re}(z)$ Realteil der komplexen Zahl; $ \operatorname{Re}(x+{\mathrm{i}\,}y)$=$ x$; Klammern können bei nur einem Argument entfallen
$ \operatorname{Im}(z)$ Imaginärteil der komplexen Zahl; $ \operatorname{Im}(x+{\mathrm{i}\,}y)$=$ y$

Logik:

$ A \wedge B $ $ A$ und $ B$
$ A \vee B $ $ A$ oder $ B$
$ \neg A $ nicht $ A$
$ A \Rightarrow B$ aus $ A$ folgt $ B$
$ A \Leftrightarrow B$ $ A$ und $ B$ sind äquivalent
$ \forall m \in M : A(m)$ oder $ {\underset{m \in M}{\forall}} A(m)$ für alle Elemente $ m$ von $ M$ ist die Aussage $ A(m)$ wahr
$ \exists m \in M : A(m)$ oder $ {\underset{m \in M}{\exists}} A(m)$ die Aussage $ A(m)$ ist für (mindestens) ein Element $ m$ wahr
$ \exists ! m \in M : A(m)$ oder $ {\underset{m \in M}{\exists !}}A(m)$ die Aussage $ A(m)$ ist für genau ein Element $ m$ wahr

Vektorrechnung:

$ P=(x,y,z)$ Punkt
$ \overline{PQ}$ Segment, Strecke die $ P$ und $ Q$ verbindet
$ \overrightarrow{PQ} = \vec{a} = \left(\begin{array}{c}a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$ Vektor von $ P$ nach $ Q$
$ \vert\vec{a}\vert$ Betrag von $ a$.     $ \vert\vec{a}\vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$ O$ Koordinatenursprung
$ \overrightarrow{OP}=\vec{p}$ Ortsvektor des Punktes $ P$
$ \vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z$ Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems
$ \vec{a}\cdot \vec{b}$ Skalarprodukt von $ \vec{a}$ und $ \vec{b}$; $ \vec{a}\cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
$ \vec{a} \times \vec{b}$ Kreuzprodukt; $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)^{\operatorname t}$
$ [\vec{a},\vec{b},\vec{c}]$ Spatprodukt; $ [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})$
$ \vec{a}^\circ$ normierter Vektor $ \vec{a}^\circ = \vec{a}/\vert\vec{a}\vert$

Koordinatensysteme:

$ (x,y,z);\,\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z$ kartesische Koordinaten und Basisvektoren, auch $ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$
$ (x_1,\ldots,x_n);\,e_{x_1},\ldots,e_{x_n}$ kartesische Koordinaten und Basisvektoren, auch $ e_1,\ldots,e_n$
$ (r,\varphi);\,\vec{e}_r,\vec{e}_\varphi$ Polarkoordinaten und Basisvektoren, $ r\geq 0$: Abstand zum Ursprung; $ \varphi$: Winkel zur positiven $ x$-Achse. Winkelbereich vorzugsweise $ (-\pi,\pi]$ oder $ [0,2\pi)$
$ (\varrho,\varphi,z);\,\vec{e_\varrho},\vec{e}_\varphi,\vec{e}_z$ Zylinderkoordinaten und Basisvektoren, $ \varrho \geq 0$: Abstand zur $ z$-Achse; $ \varphi$: Winkel zur $ xz$-Halbebene mit $ x\ge0$, Winkelbereich vorzugsweise $ (-\pi,\pi]$ oder $ [0,2\pi)$
$ (r,\vartheta,\varphi);\,\vec{e}_r,\vec{e}_\vartheta,\vec{e}_\varphi$ Kugelkoordinaten und Basisvektoren, $ r\geq 0$: Abstand zum Ursprung; $ \varphi$: Winkel zur $ xz$-Halbebene mit $ x\ge0$, Winkelbereich vorzugsweise $ (-\pi,\pi]$ oder $ [0,2\pi)$; $ \vartheta$: Winkel zur positiven $ z$-Achse, Winkelbereich $ [0,\pi]$;

Lineare Algebra:

\begin{displaymath}a=\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{array}\right)\end{displaymath} Vektor
   
$ a^{\operatorname t}=(a_1,\ldots,a_n)$ Zeilenvektor, $ n$-Tupel
$ e_i$ Einheitsvektor in $ i$-ter Koordinatenrichtung
$ \vert a\vert$ Betrag von $ a$:     $ \vert a\vert=\sqrt{\sum a_i^2}$
$ \vert\vert a\vert\vert$ (beliebige) Norm des Vektors $ a$
$ \langle a,b \rangle$ (beliebiges) Skalarprodukt von $ a$ und $ b$
$ a^{\operatorname t}b$ reelles euklidisches Skalarprodukt
$ b^\ast a$ komplexes Skalarprodukt
$ \operatorname{span} (B)$ lineare Hülle der Vektoren $ b_i \in B$
$ U^\perp$ orthogonales Komplement: $ U^\perp = \{ v \in V: \langle u,v\rangle =0\,,\, \forall u \in U\}$

Matrizenrechnung:

$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n}\\ \end{array}\right) $ Matrix
$ E, E_n, I, I_n$ Einheitsmatrix
$ B=A^{\operatorname t}$ transponierte Matrix: $ b_{j,i} = a_{i,j}$
$ B=\bar{A}$ konjugiert komplexe Matrix; $ b_{i,j} = \overline{a_{i,j}}$
$ B=A^\ast$ konjugiert komplex transponierte Matrix; $ b_{j,i} = \overline{a_{i,j}};\;B=\bar{A}^{\operatorname t}$
$ \vert A\vert$ oder $ \det(A)$ Determinante von $ A$
$ \operatorname{Spur}(A)$ oder $ \operatorname{trace}(A)$ Spur von $ A$
$ \operatorname{Rang}(A)$ oder $ \operatorname{rank}(A)$ Rang von $ A$
$ \operatorname{ker}(A)$ Kern der zu $ A$ gehörenden linearen Abbildung
$ \operatorname{Bild}(A)$ oder $ \operatorname{im}(A)$ Bild der zu $ A$ gehörenden linearen Abbildung
$ \operatorname{cond}(A)$ Kondition der Matrix $ A$, Quotient aus größtem und kleinstem Eigenwert
$ \vert\vert A\vert\vert$ (beliebige) Norm der Matrix
$ \vert\vert A\vert\vert _1$ Spaltensummennorm der Matrix: $ \vert\vert A\vert\vert _1 = \max\limits_k \sum\limits_j \vert a_{j,k}\vert$
$ \vert\vert A\vert\vert _\infty$ Zeilensummennorm der Matrix: $ \vert\vert A\vert\vert _\infty = \max\limits_j \sum\limits_k \vert a_{j,k}\vert$
$ \vert\vert A\vert\vert _2$ 2-Norm der Matrix: Wurzel aus dem größten Eigenwert von $ A^{\operatorname t} A$
$ \vert\vert A\vert\vert _{\operatorname F}$ Frobenius-Norm der Matrix: $ \vert\vert A\vert\vert _{\operatorname F} = \sqrt{\sum\limits_{j,k} \vert a_{j,k}\vert^2}$

Funktionen:

$ f:\quad A\to B\,,\quad a \mapsto b=f(a)$ Funktionsdefinition
$ x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$ Monome mit $ \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, $ v_i\in\mathbb{N}_0$
$ \exp $ Exponentialfunktion
$ \log_a$ Logarithmus zur Basis $ a$
$ \ln$ natürlicher Logarithmus (Basis $ e$)
$ \operatorname{Ln}$ komplexer Logarithmus (Basis $ e$)
$ \sin$ Sinus
$ \cos$ Cosinus
$ \tan$ Tangens
$ \cot$ Cotangens
$ \arcsin, \arccos, \arctan, \operatorname{arccot}$ Arcus-Funktionen
$ \sinh, \cosh, \tanh, \coth$ Hyperbel-Funktionen
$ \operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}, \operatorname{arcoth}$ Area-Funktionen

Differentialrechnung:

$ \displaystyle{\frac{df}{dx}, \frac{d}{dx}f, f'}$ Ableitung der Funktion $ f$
$ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial}{\partial x_i}f, f_{x_i}, \partial_i f}$ partielle Ableitung nach der $ i$-ten Komponente
$ \displaystyle{ \frac{\partial^n f}{\partial x_{i_1}\ldots\partial x_{i_n}}, \f... ...dots\partial x_{i_n}}f, f_{x_{i_n}\ldots x_{i_1}}, \partial_{i_1,\ldots,i_n}f}$ mehrfache partielle Ableitung
$ \displaystyle{ \partial^\alpha f=\prod_{i=1}^n\partial_i^{\alpha_i}f}$ mehrfache partielle Ableitung der $ \sum\alpha_i$-fach stetig differenzierbaren Funktion $ f$ mit dem Multiindex $ \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$, $ \alpha_i \in \mathbb{N}_0$
$ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial v}, \frac{\partial}{\partial v}f, f_v, \partial_v f}$ Richtungs-Ableitung in Richtung $ v\in\mathbb{R}^n$
$ \partial_\perp f$ Normalen-Ableitung,

Richtungsableitung senkrecht zum Rand eines Gebietes
\begin{displaymath}\displaystyle{ \operatorname{grad} f=\left( \begin{array}{c}\... ...splaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{array}\right) }\end{displaymath} Gradient von $ f$
\begin{displaymath}\displaystyle{ \operatorname{H}f=\left( \begin{array}{ccc}\di... ...style\frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{array}\right) } \end{displaymath} Hesse-Matrix von $ f$
\begin{displaymath}\displaystyle{ \operatorname{J}f=\left( \begin{array}{ccc}\di... ...tyle\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array}\right),f' } \end{displaymath} Jacobi-Matrix von $ f$

Integralrechnung:

$ \displaystyle{ \int\limits_V f\,dV}, \int\limits_V f$ Integral der Funktion $ f$ über der Menge $ V$
$ \displaystyle{ \int\limits_{x=a}^b f(x)\,dx\,,\int\limits_a^b f(x)\,dx }$ bestimmtes Integral
$ \displaystyle{\left[f(x)\right]_{x=a}^b =f(b)-f(a)}$ bestimmtes Integral mit Hilfe einer Stammfunktion
$ \displaystyle{ \int f(x)\,dx},\,F(x)+c$ unbestimmtes Integral, Stammfunktion
$ \displaystyle{ \int\limits_{x_n=a_n}^{b_n}\cdots\int\limits_{x_1=a_1}^{b_1} f(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n}$ iteriertes Integral

Vektoranalysis:

$ \vec{a}(t)=a_1(t)\vec{e}_1+a_2(t)\vec{e}_2+a_3(t)\vec{e}_3$ Vektorfunktion einer skalaren Variablen $ \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$
$ U(P),\,U(\vec{r}),\, U(x,y,z)$ Skalarfeld $ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$
$ \vec{F}(\vec{r})=F_1(\vec{r})\vec{e}_1+F_2(\vec{r})\vec{e}_2+F_3(\vec{r})\vec{e}_3$,

         $ =F_x(\vec{r})\vec{e}_x+F_y(\vec{r})\vec{e}_y+F_z(\vec{r})\vec{e}_z$,

$ \vec{F}(P), \vec{F}(x,y,z)$

 Vektorfeld $ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$
$ \displaystyle{ \operatorname{div} \vec{F}= \partial_1 F_1+\partial_2 F_2+ \partial_3 F_3 }$ Divergenz von $ \vec{F}$
\begin{displaymath}\displaystyle{ \operatorname{rot} \vec{F} =\left( \begin{arra... ... F_3\\ \partial_1 F_2 - \partial_2 F_1\\ \end{array}\right) }\end{displaymath} Rotation von $ \vec{F}$
$ \int\limits_C U\,dC, \int\limits_C U$ Kurvenintegral
$ \int\limits_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$ Arbeitsintegral
$ \iint\limits_S U\,dS, \iint\limits_S U$ Flächenintegral
$ \iint\limits_S \vec{F}\cdot d\vec{S}$ Flussintegral
$ \iiint\limits_V U\,dV, \iiint\limits_V U$ Volumenintegral

Integral-Transformationen:

$ f\star g$ Faltung von $ f$ und $ g$; $ (f\star g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\,dt$
$ f=$FFT($ c$) schnelle Fourier-Transformation von $ c$
$ c=$IFFT($ f$) inverse schnelle Fourier-Transformation von $ f$
$ W_n$ Fourier-Matrix. $ (W_n)_{j,k}=w_n^{(j-1)(k-1)}\,,\,w_n=\exp(2\pi \mathrm{i}/n)$
$ \langle f,g\rangle_{2\pi}$ Skalarprodukt für $ 2\pi$-periodische Funktionen.

$ \langle f,g\rangle_{2\pi} = \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx$
$ \hat{f}={\cal F}f$ Fourier-Transformation: $ \hat{f}(y) = \int\limits_{.\infty}^\infty f(x)e^{-\mathrm{i}yx}\,dx$
$ U={\cal L}u$ Laplace-Transformation: $ U(s) = \int\limits_0^\infty u(t)\exp(-st)\,dt$

Komplexe Analysis:

$ \overline{\mathbb{C}}$ $ \mathbb{C} \cup \{\infty\}$; projektive komplexe Ebene
$ n(C,a)$ Umlaufzahl; Anzahl der Umläufe der Kurve $ C$ um $ a$
$ \underset{z=a}{\operatorname{Res}}\, f(z) = \underset{a}{\operatorname{Res}}\, f$ Residuum von $ f$ an der Stelle $ a$

Metrik und Norm:

$ d(x,y)$ Abstand zwischen $ x$ und $ y$, Metrik.
$ B(x,r)$ offene Kugel mit Radius $ r$ um $ x$: $ B(x,r) =\{ y: d(y,x) < r\}$
$ p(\cdot)$ Halbnorm
$ \Vert\cdot\Vert$ (beliebige) Norm
$ \Vert\cdot\Vert _\infty$ Maximum-Norm
$ \Vert\cdot\Vert _2$ 2-Norm: $ \Vert x \Vert _2= \sqrt{\langle x,x\rangle}$

Topologische Vektorräume:

$ \Vert f\Vert _\infty$ Maximum-Norm für Funktionen: $ \Vert f\Vert _\infty = \max \vert f\vert$
$ \Vert f\Vert _p$ $ p$-Norm für Funktionen: $ \Vert f\Vert _p = \left(\int \vert f\vert^p\right)^{1/p}$
$ \vert f\vert _{k,p}$ Sobolev-Halbnorm: $ \vert f\vert _{k,p} = \left(\sum\limits_{\vert\alpha\vert =k} \int \vert\partial^\alpha f\vert^p\right)^{1/p}$
$ \Vert f\Vert_{k,p}$ Sobolev-Norm: $ \Vert f\Vert _{k,p} = \left(\sum\limits_{\vert\alpha\vert \leq k} \int \vert\partial^\alpha f\vert^p\right)^{1/p}$
$ \vert f\vert _{k,\infty}$ Sobolev-Maximum-Halbnorm: $ \vert f\vert _{k,\infty} = \max\limits_{\vert\alpha\vert =k} \Vert\partial^\alpha f\Vert _\infty$
$ \Vert f\Vert_{k,\infty}$ Sobolev-Maximum-Norm: $ \Vert f\Vert _{k,\infty} = \max\limits_{\vert\alpha\vert \leq k} \Vert\partial^\alpha f\Vert _\infty$
$ C(D)$ Raum der auf $ D$ stetigen Funktionen
$ C^k(D)$ Raum der auf $ D$ $ k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen: $ C^0(D)=C(D)$
$ C^k_0(D)$ Raum der auf $ D$ $ k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger
$ {\cal D}=C^\infty_0(D)$ Raum der auf $ D$ beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger; Testfunktionen
$ {\cal S}$ Raum der schnell abfallenden Testfunktionen
$ l^2$ Raum der quadratsummierbaren Folgen
$ L^2(D)$ Raum der über $ D$ quadratintegrierbaren Funktionen
$ L^p(D)$ Abschluss der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger auf $ D$ unter der der $ p$-Norm
$ W^{k,p}(D)$ Sobolev-Raum mit Norm $ \Vert f\Vert_{k,p}$
$ H$ allgemeiner Hilbertraum (vollständiger Skalarproduktraum)
$ H^k(D)$ Sobolev-Raum mit $ 2$-Norm: $ H^k(D)=W^{k,2}(D)$
$ H^{-s}$ Dualraum zu $ H^s$

Funktionale und Operatoren:

$ \Lambda$ lineares Funktional
$ \left.\Lambda\right\vert _U$ lineares Funktional, eingeschränkt auf den Unterraum $ U$
$ V'$ Dualraum zu $ V$
$ V''$ Bidualraum zu $ V$ - Dualraum zu $ V'$
$ L$ linearer Operator
$ L^\ast$ adjungierter linearer Operator zu $ L$
$ {\cal L}(V,W)$ Raum der beschränkten linearen Operatoren von $ V$ nach $ W$

Autor: Jörg Hörner Letzte Änderung: am 7.  2. 2011