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Mathematik-Online-Test:

Kombinatorik, komplexe Zahlen, Test 2

Aufgabe 1:
In der komplexen Zahlenebene wird durch die Zahlen $ 1,z_1,\ldots,z_4$ ein Fünfeck definiert.
\includegraphics[width=.5\linewidth]{bild.eps}
Bestimmen Sie die Polardarstellung der komplexen Zahl $ w$ und das Produkt der Zahlen $ z_1$ bis $ z_4$ .

Antwort:

$ w=$ $ \cdot$ $ \exp\Big($ / $ \pi \mathrm{i}\Big)$
Angabe des Exponenten in Form eines vollständig gekürzten positiven Bruches.

$ z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \cdot z_4 = $ $ +$ $ \mathrm{i}$

Aufgabe 2:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 9 Personen in 3 Dreiergruppen einzuteilen?

Antwort:     

Wie viele sind es, wenn zwei bestimmte Personen nicht in der gleichen Gruppe sein dürfen?

Antwort:     

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Polar- und Koordinatendarstellung folgender Ausdrücke.
a)      $ \overline{1+\mathrm{i}}$          b)      $ \displaystyle{\frac{(1+\mathrm{i})^5}{(1-\mathrm{i})^3}}$
c)      $ \displaystyle{2\sqrt{2}\mathrm{e}^{3\pi\mathrm{i}/4}+(3-\mathrm{i})}$          d)      $ \displaystyle{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2\mathrm{i}}\right)^3}$

Antwort:

a)
     $ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
b)
     $ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
c)
     $ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
d)
     $ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
(Brüche vollständig gekürzt, $ \varphi\in[0,2\pi)$, Darstellung der 0 als 0/1)
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Lösungen $ z_k\in \mathbb{C}$ folgender Gleichungen:
a)     $ (z-\mathrm{i})^3 = -\mathrm{i}$         b)     $ z\bar z - 5z = -10\mathrm{i}$

Antwort:

Produkt aller Lösungen:
a)    $ +$ $ \mathrm{i}$          b)    $ +$ $ \mathrm{i}$

Aufgabe 5:
Beschreiben Sie
a)
die Gerade durch 1 und $ \mathrm{i}$
b)
den Kreis um $ 4+4\mathrm{i}$ mit Radius $ 2\sqrt{2}$
jeweils durch eine Gleichung der Form $ \vert z\vert = s\vert z-a\vert$.

Antwort:

a)
$ s=$ ,         $ a=$ $ +$ $ \mathrm{i}$
b)
$ s=$ ,         $ a=$ $ +$ $ \mathrm{i}$
   
(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von J. Wipper) automatisch erstellt am 11.8.2017