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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 3

Aufgabe 1:
Gegeben seien die Matrizen
$ A=\left(\begin {array}{rrr} 2&3&4\\ 5&6&7 \end {array}\right)$, $ B = \left(\begin {array}{rrrr} 6&0&3&0\\ 0&6&0&3\\ 6&0&3&0 \end {array}\right)$, $ C=\left(\begin {array}{rrrr} 3&5&0&-7\\ 7&2&1&1\\ -2&4&6&9\\ 0&12&3&-8 \end {array}\right)$ und $ D=\left(\begin {array}{rr} 11&49\\ 78&102 \end {array}\right)$ .

Welche der folgenden Matrizenprodukte sind wohldefiniert?

Antwort:

  wohldefiniert nicht wohldefiniert
$ AB$
$ BA$
$ BC$
$ CB$
$ CD$
$ DC$
$ DB$
$ DA$
$ AD$
Aufgabe 2:
Es sei $ K$ ein Körper und $ A,B \in K^{n \times n}$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Ist $ T$ eine invertierbare Matrix, dann ist Spur$ ({ A)}=$Spur$ (T^{-1}AT)$.
b)
Spur$ ({ A)}+$Spur$ ({ B)}=$Spur$ (A+{ B)}$.
c)
Für eine natürliche Zahl $ m$ ist Spur$ (m \cdot { A)}=m \cdot$   Spur$ ({ A)}$.
d)
Sind $ A$ und $ B$ verschiedene Matrizen, dann unterscheiden sich auch die zugehörigen charakteristischen Polynome $ \chi({ A)}$ und $ \chi({ B)}$.
e)
$ \chi(A \cdot { B)}=\chi({ A)} \cdot \chi({ B)}$.
f)
$ \chi(A + { B)}=\chi({ A)} + \chi({ B)}$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 3:
$ A$, $ B$ seien reelle quadratische $ n \times n$-Matrizen. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Zu jedem Eigenwert $ \lambda$ von $ A$ gibt es mindestens einen reellen Eigenvektor.
b)
Ist $ v \in \mathbb{R}^n$ und $ Av=\lambda v$, dann ist $ \lambda \in \mathbb{R}$.
c)
Ist Rang$ (A)=n$, dann bilden die Spalten von $ A$ eine Basis von $ \mathbb{R}^n$.
d)
$ A$ ist genau dann invertierbar, wenn jeder Eigenwert ungleich Null ist.
e)
$ A$ ist genau dann invertierbar, wenn alle Eigenwerte verschieden sind und in $ \mathbb{R}$ liegen.
f)
$ A$ ist genau dann invertierbar, wenn die Zeilen von $ A$ eine Basis von $ \mathbb{R}^n$ bilden.
g)
Ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A$ und $ \mu$ ein Eigenwert von $ B$, dann ist $ \lambda \cdot \mu$ ein Eigenwert von $ A \cdot B$.
h)
Besitzen $ A$ und $ B$ den selben Eigenwert $ \lambda$ und sind $ v$ bzw. $ w$ Eigenvektoren von $ A$ bzw. $ B$ zu diesem ist gemeinsamen Eigenwert, dann ist $ v+w$ ein Eigenvektor von $ A+B$.
i)
Ist $ v \in \mathbb{R}^n$ ein Eigenvektor von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda$, dann ist $ v$ ein Eigenvektor von $ A^n$ zum Eigenwert $ n \cdot \lambda$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Aufgabe 4:
Es sei $ K$ ein Körper und $ A \in K^{n \times n}$. Geben sie an, welche der folgenden Bedingungen notwendig oder hinreichend dafür sind, dass $ A$ über $ K$ diagonalisierbar ist.

a)
$ A$ besitzt eine von 0 verschiedene Determinante.
b)
$ A$ besitzt in $ K$ $ n$ verschiedene Eigenwerte.
c)
$ K^n$ besitzt eine Basis die nur aus Eigenvektoren von $ A$ besteht.
d)
Für jeden Eigenwert $ \lambda$ von $ A$ gilt $ \lambda \in K$.
e)
$ A$ ist regulär.
f)
$ n=1$.
g)
$ K=\mathbb{C}$ und für jeden Eigenwert $ \lambda$ von $ A$ ist die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit.

Antwort:

  notwendig hinreichend weder noch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Aufgabe 5:
Es sei $ K$ ein Körper und $ A \in K^{n \times n}$. Geben Sie an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Ist $ A$ symmetrisch und

a)
$ K$ beliebig,
b)
$ K=\mathbb{C}$,
c)
$ K=\mathbb{R}$,
d)
$ K=\mathbb{Q}$,
e)
$ K=\mathbb{F}_2$,
dann ist $ A$ orthogonal über $ K$ diagonalisierbar.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
Aufgabe 6:
Es sei $ A \in \mathbb{C}^{n \times n}$. Geben Sie jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Ist

a)
$ A$ symmetrisch,
b)
$ A$ orthogonal,
c)
$ A$ hermitsch,
d)
$ A$ normal,
dann sind alle Eigenwerte von $ A$ reell.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 7:
Geben Sie jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Eine Matrix $ A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ist genau dann unitär diagonalisierbar, wenn

a)
$ A$ normal ist.
b)
$ A$ hermitsch ist.
c)
für jeden Eigenwert von $ A$, die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist.
d)
wenn es von $ \mathbb{C}^{n}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $ A$ gibt.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
Aufgabe 8:
Welche Folgerungen sind für die reelle Matrix

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr}% \cos \alpha & -\sin \alpha &0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0&0\\ \end{array}\right) $

mit $ \alpha \in \left( 0 , \frac{\pi}{4} \right)$ korrekt?

a)
$ A$ ist wegen $ \det(A)=0$ nicht reell diagonalisierbar.
b)
$ A$ ist eine orthogonale Matrix und daher über $ \mathbb{C}$ diagonalisierbar.
c)
Es gibt einen Eigenwert von $ A$, bei dem sich die algebraische von der geometrischen Vielfachheit unterscheidet. $ A$ ist daher weder reell noch komplex diagonalisierbar.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
   
(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 11.8.2017