Mathematik-Online-Test: Prof. Stroppel, Übungsklausur 6

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	Prof. Stroppel, Übungsklausur 6

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Matrix

und der Vektor

mit

$\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrr} -9&0&-12\\ 0&30&0\\ -12&0&9 \end{array}\right) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} v_1= \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -2 \end{array}\right) \end{displaymath}$

besitzt drei verschiedene Eigenwerte, wobei zu einem der Eigenvektor gehört. Berechnen Sie je einen normierten Eigenvektor zu den beiden anderen Eigenwerten und geben Sie das in Linearfaktoren zerlegte charakteristische Polynom $\chi_A$ der Matrix an.

Antwort:

$\left( \rule{0pt}{6ex}\right.$

$\left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

$v_3= \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\left( \rule{0pt}{6ex}\right.$

$\left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

(ganzahlige Einträge, erster von Null verschiedener Eintrag positiv)

$\chi_A(\lambda)=($ $-\lambda) ($ $-\lambda) ($ $-\lambda)$

(Eigenwerte aufsteigend geordnet)

Aufgabe 2:

Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f: D \longrightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{x^2+2x-1}{x^3+x}$

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $D \subseteq \mathbb{R}$ von .

$D = \mathbb{R} \backslash \Big\{$ $\Big\}$

Kreuzen Sie den richtigen Ansatz zur Bestimmung der Partialbruchzerlegung von f an.

keine Angabe

$f(x)= \frac {A}{x} + \frac {B}{x-1} + \frac {C}{x+1}$

$f(x)= \frac {A+xB}{x} + \frac {C}{x^2+1}$

$f(x)= \frac {A}{x} + \frac {B+xC}{x^2+1}$