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Mathematik-Online-Test:

Prof. Stroppel, Übungsklausur 6

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V4   A2 V6 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:

a)
Gegeben sind die Punkte $ P_1 =(1,1,1)$, $ P_2 = (2,2,2)$ und $ P_3=(5,3,3)$. Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene $ E_1$, die die Punkte $ P_1$, $ P_2$ und $ P_3$ enthält.

b)
Gegeben ist die Ebene

$\displaystyle E_2 : -4x_1+3x_3=11$

und die Punkte $ P_4=(1,2,1)$, $ P_5=(4,3,3)$, $ P_6=(-3,2,2)$ und $ P_7=(0,8,6)$. Die Gerade $ g_1$ geht durch die Punkte $ P_4$ und $ P_5$ und die Gerade $ g_2$ geht durch die Punkte $ P_6$ und $ P_7$. Berechnen Sie den Schnittpunkt $ S$ der Gerade $ g_1$ mit der Ebene $ E_2$.

und den kürzesten Abstand $ \delta$ der Geraden $ g_2$ zur Ebene $ E_2$.

Antwort:

a)
$ \left< n,x \right> = d$ mit
$ n = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$
und $ d = $

b)

$ S= ($ , , $ )$

$ \delta = $

(Nenner jeweils kleinstmögliche natürliche Zahlen.)
Aufgabe 2:
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle g: \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{\sin x} \,. $

a)
Bestimmen Sie den Wertebereich von $ g$ und
b)
die Umkehrfunktion von $ g$ .
c)
Geben Sie die Formel zur Bestimmung der Ableitung von $ f^{-1}$ mit Hilfe der Ableitung von einer Funktion $ f$ und
d)
die Ableitung von $ g^{-1}$ an.

Antwort:

a)

$ (a,b)$, $ [a,b)$, $ (a,b]$, $ [a,b]$,

mit $ a=-\infty$ $ a=$ und $ b=\infty$ $ b=$ .

b)

$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arcsin(y^2)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arccos(y^2)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arcsin(e^y)$
$ g^{-1}: \ W \rightarrow \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right):\ y \mapsto \arccos(e^y)$

c)

$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=f'(x_0)=\left.\frac{d}{dx}f(x)\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\dfrac{1}{f'(x_0)}=\left.\dfrac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\sqrt{f'(x_0)}=\left.\sqrt{\frac{d}{dx}f(x)}\right\vert _{x=x_0}$
$ \left.\frac{d}{dy}f^{-1}(y) \right\vert _{y=f(x_0)}=\sqrt{\dfrac{1}{f'(x_0)}}=\left.\sqrt{\dfrac{1}{\frac{d}{dx}f(x)}}\right\vert _{x=x_0}$

d)

$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=-\dfrac{2y_0}{\sqrt{1-y_0^4}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=\dfrac{2y_0}{\sqrt{1-y_0^4}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=-\dfrac{e^{y_0}}{\sqrt{1-e^{2y_0}}}$
$ \left.\frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right\vert _{y=y_0}=\dfrac{e^{y_0}}{\sqrt{1-e^{2y_0}}}$

   
  automatisch erstellt am 11.8.2017