Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Test:

Statistik für Wirtschaftswissenschaftler - Übungen 8

Aufgabe 1:
Das Paar von Zufallsvariablen $ (X,Y)$ sei gleichverteilt auf dem Einheitsquadrat $ \left\{(x,y) \in \mathbb{R}: 0 \le x,y \le 1 \right\}$. Sind dann $ X$ und $ Y$ stochastisch unabhängig?

Antwort:

$ X$ und $ Y$ sind Keine Angabe, stochastisch unabhängig, nicht stochastisch unabhängig.
Aufgabe 2:
Der Zufallsvektor $ (X,Y)$ sei auf dem Einheitskreis $ E= \left\{(x,y) \in \mathbb{R}: x^2+ y^2 \le 1 \right\}$ gleichverteilt.
a)
Sind $ X$ und $ Y$ stochastisch unabhängig?
b)
Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von $ X$ und $ Y$.
c)
Bestimmen Sie die marginale Dichte von $ X$ beziehungsweise $ Y$.

Antwort:

a)
$ X$ und $ Y$ sind Keine Angabe, stochastisch unabhängig, nicht stochastisch unabhängig.
b)
$ f(x,y) = \left\{\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 1/ \Big($$ \pi \Big)$ für $ (x,y) \in E $
sonst.
c)
Die marginale Dichte von $ X$ lautet

$ f(x)= $ $ /\pi \cdot ($$ + $ $ x + $ $ x^2 )^{1/2}$ für $ -1 \le x \le 1$.

Aufgabe 3:
Der Zufallsvektor $ (X,Y)$ besitze im Bereich $ A= \left\{(x,y) \in [0,1]^2: 0 \le x \le y \le 1 \right\}$ eine Gleichverteilung.

a)
Bestimmen Sie die Dichte $ h(x,y)$ für diesen Zufallsvektor.
b)
Bestimmen Sie die Erwartungswerte $ E(X)$, $ E(Y)$ sowie die Varianzen $ V(X)$ und $ V(Y)$.
c)
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten $ r(X,Y)$ an.

Antwort:

a)
$ h(x,y)= $ für $ (x,y) \in A$ und $ h(x,y)= $ sonst
b)
$ E(X)=$ , $ E(Y)= $ , $ V(X)= $ , $ V(Y)= $
c)
$ r(X,Y)= $

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 4:
Für die Zufallsvariablen $ Y$ und $ Z$ ist $ V(Y)=3$, $ V(Z)=2$ und $ V(2Y+4Z) = 12$. Wie groß ist der Korrelationskoeffizient $ \rho(Y,Z)$?

Antwort:

$ \rho(Y,Z)=$

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Die Zufallsvariablen $ Y$ und $ Z$ sollen unabhängig voneinander sein, $ Y$ habe die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\displaystyle P(Y=j)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & \textrm{für } j \in \left\{1,...,n \right\} \\ 0 & \textrm{sonst.} \end{array} \right. $

Die Zufallsvariable $ Z$ kann nur die Ausprägungen $ 1,2,3,4$ annehmen. Dabei gelte $ P(Z=1)=2 \cdot P(Z=2)= 3 \cdot P(Z=3)= 4 \cdot P(Z=4)$. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariable $ (Y,Z)$ für $ n=100$. Bestimmen Sie zudem für $ n=100$ den Erwartungswert der Zufallsvariable $ Y \cdot Z$.

Antwort:

$ f(y,z) = $ für $ y \in \left\{1,...,100 \right\}, \ z =1 $,

$ f(y,z) = $ für $ y \in \left\{1,...,100 \right\}, \ z =2 $,

$ f(y,z) = $ für $ y \in \left\{1,...,100 \right\}, \ z =3 $,

$ f(y,z) = $ für $ y \in \left\{1,...,100 \right\}, \ z =4 $,

$ f(y,z) = $ sonst.

$ E(Y\cdot Z)=$ .

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

   
  automatisch erstellt am 11.8.2017