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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 1


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V1   A2 V4   A3 V2   A4 V2   A5 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Seien $n$ eine beliebige ganze Zahl und $w\in\mathbb{C}$ eine Lösung der Gleichung $z^n = 1$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

(a) $w = w^{n-1}$ wahr         falsch
(b) Es existiert $k\in\{0,\dots,n-1\}$, sodass $w + \overline{w} = 2\cos(\frac{2\pi k}{n})$ wahr         falsch


Aufgabe 2:
Betrachten Sie das Skalarprodukt $s$ auf $\mathbb{R}^2$ gegeben durch $s((1,0),(1,0))=3, s((0,1),(0,1)) = 1/3$ und $s((1,0),(0,1))=1/\sqrt{2}$. Sei $\alpha$ der Winkel zwischen $(-2,0)$ und $(0,-3)$ bezüglich $s$.

Wählen Sie die wahre Aussage aus

$\alpha = 0$.

$\alpha = 1/\sqrt{2}$.

$\alpha = \pi/3$.

$\alpha = \pi/4$.

$\alpha = 7\pi/4$.

$\alpha = \pi/2$.


Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Sesquilinearform $s$ auf $\mathbb{C}^4$ mit darstellender Matrix $A$ gegeben durch

$A = \begin{pmatrix}2 & -1 & i & 0 \\ -1 & 2 & -i & 0 \\ -i & i & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Form $s$ ist ein Skalarprodukt.          wahr         falsch


Aufgabe 4:
Wählen Sie die wahre Aussagen aus.

Die Menge der hermiteschen $n\times n$-Matrizen ist ein Unterraum von $M_n(\mathbb{C})$.

Es existiert eine hermitesche Matrix $A=(a_{i,j})_{i\leq i,j \leq n}$ mit $\operatorname{Im}(a_{i,j})\neq 0$ für alle $i,j$. Hier bezeichnet $\operatorname{Im}(a)$ den Imaginärteil von $a\in \mathbb{C}$.

Alle obigen Aussagen sind falsch.


Aufgabe 5:
Sei $A=B+iC\in M_n(\mathbb{C})$ eine hermitesche Matrix mit $B,C\in M_n(\mathbb{R})$.

Wählen Sie die wahren Aussagen aus.

Die Matrix $B$ ist symmetrisch.

Die Matrix $B$ ist schief-symmetrisch.

Die Matrix $C$ ist symmetrisch.

Die Matrix $C$ ist schief-symmetrisch.

Alle obigen Aussagen sind falsch.


   

  automatisch erstellt am 20.7.2018