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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 1


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V2   A2 V2   A3 V1   A4 V4   A5 V3 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Sei $ \mathbb{R}[X]_2=\{p\in\mathbb{R}[X]: p=0$ oder $ \textsf{Grad}(p)\leq 2\}$ als euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt gegeben durch $ s(X^i, X^j) = 2/(i+j+1)$, falls $ i+j+1$ ungerade, und $ s(X^i,X^j)=0$, falls $ i+j+1$ gerade. Betrachten Sie die Basis $ v_0 = 1, v_1 = X, v_2 = X^2$ von $ \mathbb{R}[X]_2$ und sei $ s_0,s_1,s_2$ die Basis, die aus dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren entsteht.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

$ s_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$ s_0 = \frac{1}{2}$.

$ s_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}X$.

$ s_2 = \frac{\sqrt{45}}{2\sqrt{2}}X^2 - \frac{\sqrt{42}}{6\sqrt{2}}$.


Aufgabe 2:
Betrachten Sie den euklidischen $ \mathbb{R}$-Vektorraum $ V=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 : 3x + 2y -z = 0$ und $ -x + y + 4w = 0\}$ mit dem Standard-Skalarprodukt.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

$ (-1,1,0,4) \in V^\perp$.

$ (4,1,-1,-4) \in V^\perp$.

$ V^{\perp} = [\{(5,5,-2,4),(2,3,-1,4)\}]$.

Alle obigen Aussagen sind falsch.


Aufgabe 3:
Betrachten Sie das Skalarprodukt $ s$ auf $ \mathbb{R}^2$ gegeben durch $ s((1,0),(1,0))=3, s((0,1),(0,1)) = 1/3$ und $ s((1,0),(0,1))=1/\sqrt{2}$. Sei $ \alpha$ der Winkel zwischen $ (2,0)$ und $ (0,3)$ bezüglich $ s$.

Wählen Sie die wahre Aussage aus

$ \alpha = 0$.

$ \alpha = 1/\sqrt{2}$.

$ \alpha = 7\pi/4$.

$ \alpha = \pi/2$.

$ \alpha = \pi/3$.

$ \alpha = \pi/4$.


Aufgabe 4:
Sei $ s$ das Skalarprodukt auf $ \mathbb{R}^2$ gegeben durch $ s((1,0),(1,0)) = 1, s((0,1),(0,1)) = 1$ und $ s((2,0),(0,1)) = 1$. Betrachten Sie die lineare Abbildung $ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ mit $ f(1,0) = (-4,2)$ und $ f(0,2) = (-7,2)$.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Abbildung $ f$ ist selbstadjungiert bezüglich $ s$.          wahr         falsch


Aufgabe 5:
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Es gibt kein Skalarprodukt $ s$ auf $ \mathbb{R}^2$, sodass $ s((x,y),(x,y)) = x^2 + y^2$ für alle $ (x,y)\in\mathbb{R}^2$ und $ s((1,0),(0,1)) \neq 0$.          wahr         falsch


   

  automatisch erstellt am 20.7.2018