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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 1

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V2   A2 V3   A3 V1   A4 V1   A5 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Seien $K$ ein Körper und $V_1, V_2, W$ Vektorräume über $K$. Eine Abbildung $f:V_1\times V_2\rightarrow W$ heißt bilinear über $K$, falls die Abbildungen $f(v_1,-)$ und $f(-,v_2)$ für alle $v_1\in V_1$ und $v_2\in V_2$ linear sind.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Die Multiplikationsabbildung $K\times K \rightarrow K$, $(x,y)\mapsto xy$ ist bilinear.

Die Abbildung $K^m\times K^n \rightarrow K^p$, $(x,y)\mapsto (x^TA_1y,\dots, x^TA_py)^T$ mit $A_i\in M_{m\times n}(K)$ für $1\leq i \leq p$ ist bilinear.

Die Abbildung $M_n(K)\times M_n(K) \rightarrow K$, $(A,B)\mapsto \operatorname{det}(AB)$ ist bilinear.

Die Abbildung $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$, $(x,y)\mapsto (x_2y_3-x_1y_3, x_3y_1-x_3y_2, x_1y_2-2x_2y_1)$ ist bilinear.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 2:
Sei $f$ eine Bilinearform $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch $f(x,y):= (x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3+3x_1y_2-3x_2y_1)$.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Die Bilinearform $f(x,y)$ ist symmetrisch.

Die Bilinearform $f(x,y)$ ist schief-symmetrisch.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 3:
Sei $f$ eine Bilinearform $\mathbb{K}^n\times \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}$ mit $\mathrm{char}(\mathbb{K})\neq 2$.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Die Abbildung $g(x,y):=1/2(f(x,y)+f(y,x))$ ist eine symmetrische Bilinearform.

Die Abbildung $g(x,y):=1/2(f(x,y)+f(y,x))$ ist eine schief-symmetrische Bilinearform.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 4:
Sei $V=\mathbb{R}[X]$ und $\sigma(f,g)=\Sigma_{m=0}^{\infty} f^{(m)}(0)g^{(m)}(0)$ die Bilinearform aus Beispiel 6.6.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Bilinearform $\sigma(f,g)$ ist ausgeartet.

wahr     falsch

Aufgabe 5:
Seien $K=\mathbb{R}, V=\mathbb{R}^n$.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Es gibt eine Bilinearform $f\neq 0$ auf $V$ mit $f(x,y)=\epsilon f(y,x)$ und $\epsilon\notin\{1,-1\}$.

wahr     falsch

   
  automatisch erstellt am 20.7.2018