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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 1


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V4   A2 V4   A3 V2   A4 V1   A5 V4 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Es sei $\displaystyle z =\frac{3-4\mathrm{i}}{2+2\mathrm{i}}\in\mathbb{C}$. Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von $z$.

$\mathrm{Re}\,z = $

         $\mathrm{Im}\,z = $

Hinweis: Geben Sie Brüche vollständig gekürzt und mit positivem Nenner an. Ganzzahlige Ergebnisse sind als Brüche mit Nenner 1 anzugeben.


Aufgabe 2:
Gegeben sei der Ausdruck $\displaystyle A(z)=\left( z-\overline{z}+2\mathrm{Re}\,z\right)\cdot \overline{z}$. Überzeugen Sie sich durch eine geeignete Umformung davon, dass $A(z)\in\mathbb{R}$ und $A(z)\geq 0$ gilt für alle $z\in\mathbb{C}$ (Sie können das auch lassen, aber dann wird die nachfolgende Rechnung deutlich aufwändiger).

Im Falle $\displaystyle z=\frac{3+4\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ ist $A(z)$ sogar eine natürliche Zahl. Welche ist das?

$\displaystyle A\left(\frac{3+4\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)$ =


Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Sesquilinearform $s$ auf $\mathbb{C}^4$ mit darstellender Matrix $A$ gegeben durch

$A = \begin{pmatrix}2 & -1 & i & 0 \\ -1 & 2 & -i & 0 \\ -i & i & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Form $s$ ist ein Skalarprodukt.          wahr         falsch


Aufgabe 4:
Betrachten Sie die Vektoren $u=(3, 0, 1)^T$, $v=(6, 2, 2)^T$ und $w=(0,-1,0)^T$ im $\mathbb{R}^3$. Ergänzen Sie die richtige Antwort.

Wieviele dieser drei Vektoren werden mindestens gebraucht, um $[\{u,v,w\}]$ zu erzeugen?


Aufgabe 5:
Sei $A=B+iC\in M_n(\mathbb{C})$ eine hermitesche Matrix mit $B,C\in M_n(\mathbb{R})$.

Wählen Sie die wahren Aussagen aus.

Die Matrix $B$ ist symmetrisch.

Die Matrix $B$ ist schief-symmetrisch.

Die Matrix $C$ ist symmetrisch.

Die Matrix $C$ ist schief-symmetrisch.

Alle obigen Aussagen sind falsch.


   

  automatisch erstellt am 20.7.2018