Mathematik-Online-Test: LAAG 2 - Prof. König

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	Mathematik-Online-Test:
	LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 1

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Aufgabe 1:
Seien $n$

eine beliebige ganze Zahl und $w\in\mathbb{C}$ eine Lösung der Gleichung $z^n = 1$

. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

(a) $w = w^{n-1}$ wahr falsch

(b) Es existiert $k\in\{0,\dots,n-1\}$ , sodass $w + \overline{w} = 2\cos(\frac{2\pi k}{n})$ wahr falsch

Aufgabe 2:
Betrachten Sie das Skalarprodukt $s$

auf $\mathbb{R}^2$ gegeben durch $s((1,0),(1,0))=3, s((0,1),(0,1)) = 1/3$

und $s((1,0),(0,1))=1/\sqrt{2}$ . Sei $\alpha$ der Winkel zwischen $(-2,0)$

und

bezüglich

Wählen Sie die wahre Aussage aus

$\alpha = 0$ .

$\alpha = 1/\sqrt{2}$ .

$\alpha = \pi/3$ .

$\alpha = \pi/4$ .

$\alpha = 7\pi/4$ .

$\alpha = \pi/2$ .

Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Sesquilinearform $s$

auf $\mathbb{C}^4$ mit darstellender Matrix $A$

gegeben durch

$A = \begin{pmatrix}2 & -1 & i & 0 \\ -1 & 2 & -i & 0 \\ -i & i & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Form $s$ ist ein Skalarprodukt. wahr falsch

Aufgabe 4:
Wählen Sie die wahre Aussagen aus.

Die Menge der hermiteschen $n\times n$ -Matrizen ist ein Unterraum von $M_n(\mathbb{C})$ .

Es existiert eine hermitesche Matrix $A=(a_{i,j})_{i\leq i,j \leq n}$ mit $\operatorname{Im}(a_{i,j})\neq 0$ für alle $i,j$ . Hier bezeichnet $\operatorname{Im}(a)$ den Imaginärteil von $a\in \mathbb{C}$ .