Mathematik-Online-Test: LAAG 2 - Prof. König

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	LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 1

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Aufgabe 1:
Sei $M=\{ v_1, \dots , v_n\} \subseteq \mathbb{R}^n$ ein Orthonormalsystem bezüglich des Standard-Skalarproduktes von $\mathbb{R}^n$ . Betrachten Sie die Matrix $A = [v_1 \vert \cdots \vert v_n]$ .

Wählen Sie die wahre Aussage aus.

$\det(A)^2=1$ .

$\mathsf{Sp}(A)^2=1$ .

$\mathsf{Sp}(A)=n$ .

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 2:
Betrachten Sie das Skalarprodukt $s$

auf $\mathbb{R}^2$ gegeben durch $s((1,0),(1,0))=3, s((0,1),(0,1)) = 1/3$

und $s((1,0),(0,1))=1/\sqrt{2}$ . Sei $\alpha$ der Winkel zwischen $(-2,0)$

und

bezüglich

Wählen Sie die wahre Aussage aus

$\alpha = 0$ .

$\alpha = 1/\sqrt{2}$ .

$\alpha = \pi/3$ .

$\alpha = \pi/4$ .

$\alpha = 7\pi/4$ .

$\alpha = \pi/2$ .

Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Sesquilinearform $s$

auf $\mathbb{C}^4$ mit darstellender Matrix $A$

gegeben durch

$A = \begin{pmatrix}2 & -1 & -i & 0 \\ -1 & 2 & i & 0 \\ i & -i & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Form $s$ ist ein Skalarprodukt. wahr falsch

Aufgabe 4:
Wählen Sie die wahre Aussagen aus.

Die Menge der hermiteschen $n\times n$ -Matrizen ist ein Unterraum von $M_n(\mathbb{C})$ .

Es existiert eine hermitesche Matrix $A=(a_{i,j})_{i\leq i,j \leq n}$ mit $\operatorname{Im}(a_{i,j})\neq 0$ für alle $i,j$ . Hier bezeichnet $\operatorname{Im}(a)$ den Imaginärteil von $a\in \mathbb{C}$ .