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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 2


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V3   A2 V4   A3 V3   A4 V2   A5 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Gegeben seien die Polynome $p(z)=z^5 - z^4 -15 z^3 +20 z^2 +12 z -11$ und $q(z)=z^3-4z^2+5$. Nach Satz 2.7.3 der Vorlesung gibt es Polynome $s$ und $r$ mit $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(q)$, sodass $p=s\cdot q+r$. Wir schreiben $r(z)=az^2+bz+c$. Bestimmen Sie $a,b,c$.

$a=$
$b=$
$c=$

Hinweis: Alle Ergebnisse sind ganzzahlig.


Aufgabe 2:
Für $a,b\in\mathbb{R}$ sei das Polynom $p$ gegeben durch

$\displaystyle p(z)= 2 z^3+az^2+bz -2.
$

Bekannt sei, dass $\lambda=-1+3 \mathrm{i}$ eine Nullstelle von $p$ ist. Bestimmen Sie $a$ und $b$.

$a=$

     $b=$

 

Hinweis: Die Ergebnisse sind rationale Zahlen. Geben Sie diese jeweils als vollständig gekürzte Brüche mit positivem Nenner an.


Aufgabe 3:
Sei $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung. Mit $s$ bezeichnen wir das Standard-Skalarprodukt von $\mathbb{R}^4$.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Funktion $t:\mathbb{R}^4\times \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}$ gegeben durch $t(v,w) = s(f(v),f(w))$ ist genau dann ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^4$, wenn $f$ ein Isomorphismus ist.          wahr         falsch


Aufgabe 4:
Sei $b\in\mathbb{R}$ und $s:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ die Funktion gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 5x_1y_1 - 3bx_1y_2 - 3bx_2y_1 + 9b x_2y_2$.

Wählen Sie die wahre Aussage aus.

$s$ ist kein Skalarprodukt für alle $b\in\mathbb{R}$.

$s$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $b > 0$.

$s$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $0 < b < 5$.

alle obigen Aussagen sind falsch.


Aufgabe 5:
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Es gibt ein Skalarprodukt $s$ auf $\mathbb{R}^2$, sodass $s((x,y),(x,y)) = x^2 + y^2$ für alle $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ und $s((0,1),(1,0)) = 2$.          wahr         falsch


   

  automatisch erstellt am 20.7.2018