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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 2

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V1   A2 V3   A3 V4   A4 V1   A5 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Die Funktion $s:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1 + 3x_2y_1 + 5x_2y_2 + 3x_1y_2$ ist ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^2$ (als $\mathbb{R}$-Vektorraum).

Die Funktion $s:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = x_1 + y_1 + x_2 + y_2$ ist ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^2$ (als $\mathbb{R}$-Vektorraum).

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 2:
Sei $s:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ eine symmetrische Bilinearform, sodass $s((1,1),(1,-1)) = -2$, $s((-1,-1),(-1,-1)) = 8$ und $s((1,-1),(-2,2))=-8$.

Ergänzen Sie die richtigen Antworten.

$s((1,0),(0,1)) = $ .

$s((1,0),(1,0)) = $  .

Aufgabe 3:
Sei $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung. Mit $s$ bezeichnen wir das Standard-Skalarprodukt von $\mathbb{R}^3$.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Funktion $t:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ gegeben durch $t(v,w) = s(f(v),f(w))$ ist genau dann ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^3$, wenn $f$ ein Isomorphismus ist.          wahr         falsch

Aufgabe 4:
Sei $b\in\mathbb{R}$ und $s:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ die Funktion gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 3 x_1y_1 - 2bx_1y_2 - 2bx_2y_1 + 4b x_2y_2$.

Wählen Sie die wahre Aussage aus.

$s$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $b > 0$.

$s$ ist kein Skalarprodukt für alle $b\in\mathbb{R}$.

$s$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $0 < b < 3$.

alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 5:
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Es gibt ein Skalarprodukt $s$ auf $\mathbb{R}^2$, sodass $s((x,y),(x,y)) = x^2 + y^2$ für alle $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ und $s((0,1),(1,0)) = 2$.          wahr         falsch

   
  automatisch erstellt am 20.7.2018