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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 2

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V4   A2 V4   A3 V1   A4 V3   A5 V2 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Betrachten Sie Matrizen $ A\in\textsf{Mat}(n\times m, \mathbb{R})$.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Für alle Matrizen $ A$ sind die Nullstellen von $ \chi_{A^tA}$ reell.

Für alle Matrizen $ A$ sind die reellen Eigenwerte von $ A^tA$ positiv.

$ A^tA$ ist diagonalisierbar für alle Matrizen $ A$.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 2:
Betrachten Sie Matrizen mit reellen Einträgen.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Wenn $ A$ die darstellende Matrix eines Skalarproduktes $ s$ auf $ \mathbb{R}^n$ ist, dann gibt es eine Matrix $ B$, sodass $ A = B^tB$.

Sei $ B$ eine Matrix. Die symmetrische Bilinearform mit darstellender Matrix $ B^tB$ ist ein Skalarprodukt.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 3:
Betrachten Sie die Sesquilinearform $ s$ auf $ \mathbb{C}^4$ mit darstellender Matrix $ A$ gegeben durch

$ A = \begin{pmatrix}2 & -1 & i & 0 \\ -1 & 2 & -i & 0 \\ -i & i & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Form $ s$ ist ein Skalarprodukt.          wahr         falsch

Aufgabe 4:
Sei $ A\in\mathsf{Mat}(n\times n,\mathbb{R})$ symmetrisch.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Es gibt eine symmetrische Matrix $ B$, sodass $ B^5 = A$.

Es gibt eine symmetrische Matrix $ B$, sodass $ B^6 = A$.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

Aufgabe 5:
Betrachten Sie den unitären $ \mathbb{C}$-Vektorraum $ \mathbb{C}^2$ mit Skalarprodukt $ s$ gegeben durch $ s((1,0),(1,0)) = 2$, $ s((0,1),(0,1)) = 2$ und $ s((1,0),(0,1)) = i$. Sei $ f:\mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ die $ \mathbb{C}$-lineare Abbildung mit $ f(-i,1) = (1+\sqrt{3}i, \sqrt{3}+i)$ und $ f(\sqrt{3}i,\sqrt{3}) = (\sqrt{3}-i,1-\sqrt{3}i)$. Mit $ f^*$ bezeichnen wir die zu $ f$ adjungierte lineare Abbildung.

Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

$ f^*(-i,1) = (-1+\sqrt{3}i,\sqrt{3}-i)$

$ f$ ist normal.

$ f^*$ ist selbstadjungiert.

$ f^*(\sqrt{3}i,\sqrt{3}) = (-\sqrt{3}+i,1+\sqrt{3}i)$.

Alle obigen Aussagen sind falsch.

   
  automatisch erstellt am 20.7.2018