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Mathematik-Online-Test:

LAAG 2 - Prof. König - Online Übungstest 2


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V4   A2 V4   A3 V3   A4 V3   A5 V3 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Kreuzen Sie die wahren Aussagen an.

Die Funktion $s:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 5x_1y_1 + 3x_2y_1 + 2x_2y_2 + 3x_1y_2$ ist ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^2$ (als $\mathbb{R}$-Vektorraum).

Die Funktion $s:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = -x_1 - y_1 + x_2 - y_2$ ist ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^2$ (als $\mathbb{R}$-Vektorraum).

Alle obigen Aussagen sind falsch.


Aufgabe 2:
Sei $s:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ eine symmetrische Bilinearform, sodass $s((2,2),(1,-1)) = -12$, $s((-2,-2),(1,1)) = -8$ und $s((1,-1),(3,-3))=24$.

Ergänzen Sie die richtigen Antworten.

$s((1,0),(0,1)) = $ .

$s((1,0),(1,0)) = $  .


Aufgabe 3:
Sei $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung. Mit $s$ bezeichnen wir das Standard-Skalarprodukt von $\mathbb{R}^4$.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die Funktion $t:\mathbb{R}^4\times \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}$ gegeben durch $t(v,w) = s(f(v),f(w))$ ist genau dann ein Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^4$, wenn $f$ ein Isomorphismus ist.          wahr         falsch


Aufgabe 4:
Sei $b\in\mathbb{R}$ und $s:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ die Funktion gegeben durch $s((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1 - 5bx_1y_2 - 5bx_2y_1 + 25b x_2y_2$.

Wählen Sie die wahre Aussage aus.

$s$ ist kein Skalarprodukt für alle $b\in\mathbb{R}$.

$s$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $0 < b < 2$.

$s$ ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn $b > 0$.

alle obigen Aussagen sind falsch.


Aufgabe 5:
Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Es gibt kein Skalarprodukt $s$ auf $\mathbb{R}^2$, sodass $s((x,y),(x,y)) = x^2 + y^2$ für alle $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ und $s((1,0),(0,1)) \neq 0$.          wahr         falsch


   

  automatisch erstellt am 20.7.2018