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Mathematik-Online-Test:

Komplexe Analysis, Test 1

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V-   A2 V1   A3 V-   A4 V-   A5 V-   A6 V-   A7 V-   A8 V- 
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Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Skizzieren Sie jeweils den durch $ z(t)$ parametrisierten Weg $ C$ und berechnen Sie den Wert des zugehörigen komplexen Kurvenintegrals

$\displaystyle \int\limits_C f(z)\, dz\,. $

a)
$ f(z)=z+\overline{z}\,, \quad z(t)=2\cos t+{\rm {i}}\sin t, \quad -\pi\leq t\leq \pi\,$
b)
$ f(z)=(1-z){e}^{{\rm {i}} z}\,, \quad z(t)=te^{{\rm {i}} t}, \quad 0\leq t\leq 3\pi\,$


Lösung: Tragen Sie a und b in die betreffenden Kästchen ein und lassen Sie die übrigen zwei Kästchen frei.

Skizze:
\includegraphics[height=0.3\linewidth]{g195_l_bild4} \includegraphics[height=0.24\linewidth]{g195_l_bild1}
\includegraphics[height=0.3\linewidth]{g195_l_bild3} \includegraphics[height=0.3\linewidth]{g195_l_bild2}

Integralwerte (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

        a) $ {\displaystyle{\int\limits_C f(z)\, dz=}}$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,                 b) $ {\displaystyle{\int\limits_C f(z)\, dz=}}$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

Aufgabe 2:
Berechnen Sie

$\displaystyle \int\limits_C \frac{dz}{z^3-1} $

über die abgebildeten Wege $ C$. Die markierten Punkte sind die dritten Wurzeln aus $ 1$.
\includegraphics[width=0.88\linewidth]{g196_bild1}

a) $ +$ $ {\rm {i}}$          b) $ +$ $ {\rm {i}}$          c) $ +$ $ {\rm {i}}$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Gegeben sei die komplexwertige Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^4-1}. $

Bestimmen Sie für $ f(z)$ die folgenden Residuen
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=1} \, f \quad = \quad $$ \Big/$
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=-1} \, f \quad = \quad $$ \Big/$
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=i} \, f \quad = \quad $ i $ \Big/$
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=-i} \, f \quad = \quad $ i $ \Big/$
Weiter seien die folgenden (gegen den Uhrzeigersinn orientierten) Kurven in der komplexen Zahlenebene gegeben

$\displaystyle C_1^+=\{\vert z-1\vert=1\}$

$\displaystyle C_2^+=\{\vert z-1\vert=\sqrt{3}\}$

$\displaystyle C_3^+=\{\vert z\vert=2\}$

$\displaystyle C_4^+=\{\vert z-\frac{1}{2}(i+1)\vert=1\}.$

Bestimmen sie die Integrale

$\displaystyle F_i:= \int\limits_{C_i^+}f(z) \, dz $

$ F_1=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
$ F_2=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
$ F_3=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
$ F_4=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
Aufgabe 4:
Gegeben sei die komplexwertige Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{(z-i)^2}{z^3}. $

Bestimmen Sie für $ f(z)$ das Residuum
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=0} \, f \quad = \quad$
$ C$ sei ein beliebiger (gegen den Uhrzeigersinn orientierter) Kreis um $ z=0$. Bestimmen sie das Integral
$ F:= \displaystyle\int\limits_{C}f(z) \, dz =$ $ +$ $ \, i +$ $ \, \pi +$ $ \, \pi \,i$
Aufgabe 5:
a) Bestimmen Sie die Polstellen der komplexen Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1-z}{\left(z^2+1\right)^2}$

sowie deren Vielfachheit.
b) Sei $z_0$ die Polstelle von $f$ mit negativem Imaginärteil. Schreiben Sie $f(z)$ in der Form

$\displaystyle f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^2} $

und berechnen Sie das Residuum der Funktion $f(z)$ im Punkt $z_0$.
c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-x}{\big(x^2+1\big)^2}\,\mathrm{d}x\ ,$

indem Sie die Funktion $f(z)$ über den in der Abbildung dargestellten Weg integrieren und eine geeignete Grenzwertbetrachtung durchführen.
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{pic_weg}

Lösung:
a) Polstelle:        $z_0\ =\ $$-$$i$        Vielfachheit:

Polstelle:        $z_1\ =\ $$+$$i$        Vielfachheit:

b)  $g(z)\ =\ \big($$+$ $z\big)\Big/\big($$z+$$i\big)^2$

$g'(z)\ =\ $ $\dfrac{1}{(z-i)^2}+\big($$+$ $z\big)\dfrac{1}{(z-i)^3}$

$\operatorname{Res}(f,z_0)\ =\ $ $\ +\ i\Big/$

c) Nach dem Residuensatz gilt:

keine Angabe
$\displaystyle\operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle2\pi i \operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle-2\pi i \operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$

Das zweite Integral lässt sich dabei abschätzen zu

$\displaystyle\left\vert \int_{C_2}f(z)\,dz \right\vert\ \leq\ L(C_2) \max_{t\in [0,\pi]}\left\vert\rule{0pt}{6ex}\right.$
$+$ $R\cdot e^{-it}$
____________________________________
$\big(R^2\cdot e^{-2it}+$$\big)^2$
$\left.\rule{0pt}{6ex}\right\vert\ \le\ \pi R \dfrac{1+R}{(R^2-1)^2}\ \longrightarrow\ $ für $R\longrightarrow\infty$.

und somit

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\ =\ $$\pi\Big/$

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie den Typ der Singularitäten der folgenden Funktionen sowie die zugehörigen Residuen.
a) $ f(z)=\displaystyle \frac{z+2}{{z^2+2z+5}}$                 b) $ f(z)=\displaystyle \frac{1}{{ z^2( 1-{e}^{2 \pi \textrm{i}z})}}$
c) $ f(z)=\displaystyle \frac{ \cos z -1}{{z^6}}$                 d) $ f(z)=\displaystyle \frac{ 1}{{ \sin z - \cos z}}$

Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet, nicht benötigte Kästchen bleiben frei):

a)
$ f$ besitzt Singularitäten bei

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$

(nach aufsteigendem Imaginärteil sortiert). Dabei ist

$ z_1$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$
$ z_2$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuen:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,          $ \underset{z_2}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

b)
$ f$ besitzt im Inneren des Kreises $ K: \left\vert z-\frac{1}{2}\right\vert<1$ Singularitäten bei

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$

(nach aufsteigendem Realteil sortiert). Dabei ist

$ z_1$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$
$ z_2$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuen:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,          $ \underset{z_2}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

c)
$ f$ besitzt bei $ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ eine(n)

keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuum:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

d)
$ f$ besitzt im Inneren des Kreises $ K: \left\vert z-2\right\vert<2$ Singularitäten bei

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$

(nach aufsteigendem Realteil sortiert). Dabei ist

$ z_1$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$
$ z_2$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuen:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,          $ \underset{z_2}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

Aufgabe 7:

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung der Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^2 +z} $

sowie die beiden Laurent-Reihen zum Entwicklungspunkt $ z=1$ und ihr jeweiliges Konvergenzgebiet.

Antwort:
Partialbruchzerlegung:
$ f(z)=($$ )/(z)$$ -($$ )/(z+$$ )$
Laurent-Reihen:
Gebiet 1: $ \, <\vert z+1\vert<$
$ f(z)=$ $ \displaystyle\sum_{n=-1}^{\infty}(z+$$ )^n$
Gebiet 2: $ \, <\vert z+1\vert$
$ \displaystyle f(z)=\sum_{n=2}^{\infty}($$ /(z+$$ ))^n$

Aufgabe 8:

Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung der Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{ z^3 +2z^2} $

und entwickeln Sie $ f$ in eine Laurent-Reihe um den Entwicklungspunkt $ z_0=-2$ im Gebiet $ D:\, \vert z+2 \vert < 2 $. Geben Sie ebenfalls den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von $ f$ um den Entwicklungspunkt $ z_1=3+ 4$i$ $ an.

Antwort:
Partialbruchzerlegung: $ f(z)=-1/($$ z)+1/($$ z^2)+1/($$ (z+$$ ))$
Laurent-Reihe: $ f(z)=1/($$ (z+$$ ))+1/$ $ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+$$ )((z+$$ )/$$ )^n$
Konvergenzradius:

   
(Zusammengestellt von G. Blind unter Mitwirkung von S. Poehler und A. Schlömerkemper) automatisch erstellt am 11.8.2017