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Mathematik-Online-Test:

Mathematische Grundlagen - Test 1

Aufgabe 1:
Vervollständigen Sie die abgebildete Wahrheitstafel so, dass dadurch die Aussage $ A \wedge B \Longrightarrow A$ bewiesen wird.

$ A$ $ B$ $ A \wedge B$ $ A \wedge B \longrightarrow A$
$ {\displaystyle{\begin{array}{c} \overset{\ }{\overset{\ }{w}} \\ \overset{\ }{... ...\\ \overset{\ }{\overset{\ }{f}} \\ \overset{\ }{\overset{\ }{f}} \end{array}}}$ $ {\displaystyle{\begin{array}{c} \overset{\ }{\overset{\ }{w}} \\ \overset{\ }{... ...\\ \overset{\ }{\overset{\ }{w}} \\ \overset{\ }{\overset{\ }{f}} \end{array}}}$

Aufgabe 2:
Gegeben seien die drei Aussagen

$\displaystyle A: x\leq 3, \quad \ B: x\leq 4, \quad \ C: x^2=16 $

über eine reelle Zahl $ x$. Geben Sie an, ob die in der Tabelle genannten Beziehungen zwischen den Aussagen $ A, B$ und $ C$ bestehen
(J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  $ A$ $ B$ $ C$
$ A$ ist hinreichend für J
$ B$ ist notwendig für J
$ C$ ist hinreichend für J

Aufgabe 3:
Kreuzen Sie an: Wie lautet die Verneinung von

$\displaystyle {\mbox{$\exists \ x>0 \ \ \forall \ y<0 \ \ \exists \ z<0 \,: xy>z$\ \quad ?}} $

keine Angabe
$ \forall \ x>0$ $ \exists \ y<0$ $ \forall z<0$ : $ xy>z$
$ \forall \ x\leq 0$ $ \exists \ y\geq 0$ $ \forall z\geq 0$ : $ xy\leq z$
$ \forall \ x>0$ $ \exists \ y<0$ $ \forall z<0$ : $ xy\leq z$
$ \exists \ x\leq 0$ $ \forall \ y\geq 0$ $ \exists z\geq 0$ : $ xy\leq z$

Aufgabe 4:
Gegeben seien die Mengen $ A=\{1, 2, 3, 4, 5\}$ und $ B=\{4, 5, 6, 7\}$.

Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen zutreffen (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  $ A \cup B$ $ A \cap B$ $ A\setminus B$ $ {\cal{P}} (A)$
$ 5$ ist Element von
$ \{2, 3\}$ ist Teilmenge von     
$ \{1, 4\}$ ist Element von

Aufgabe 5:
Geben Sie an, ob die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv bzw. bijektiv sind (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  ist injektiv ist surjektiv ist bijektiv
$ f: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\,, \ x\longmapsto x^2$
$ f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}_{\,0}^+\,, \ x\longmapsto x^2$
$ f: \mathbb{R}_{\,0}^+\,\longrightarrow \mathbb{R}_{\,0}^+\,, \ x\longmapsto x^2$
$ f: \mathbb{R}_{\,0}^+\,\longrightarrow\mathbb{R}\,, \ x\longmapsto x^2$
Aufgabe 6:
Sei $ A$ eine Menge und $ {\cal{R}} \subseteq A\times A$ eine Relation auf $ A$. Geben Sie an, ob die genannten Bedingungen erfüllt sein müssen, damit $ {\cal{R}}$ eine Äquivalenzrelation bzw. Ordnungsrelation ist (J für ,,ja``, N für ,,nein``).

  Äquivalenzrelation Ordnungsrelation
$ {\cal{R}}$ ist symmetrisch
$ {\cal{R}}$ ist antisymmetrisch
$ {\cal{R}}$ ist assoziativ
$ {\cal{R}}$ ist reflexiv
$ {\cal{R}}$ ist transitiv
$ {\cal{R}}$ besitzt ein neutrales Element
Aufgabe 7:
Handelt es sich bei den folgenden Relationen $ {\cal{R}} \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ um Äquivalenzrelationen bzw. Ordnungsrelationen (J für ,,ja``, N für ,,nein``)?

  ist Äquivalenzrelation ist Ordnungsrelation
$ m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m=n$
$ m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m^2=n^2$     
$ m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m\geq n$
$ m\,{\cal{R}}\,n :\Longleftrightarrow m<n$
Aufgabe 8:

a)
Wie lautet die Definition des Binomialkoeffizienten?

$ {\displaystyle{\binom{n}{k}=}}$
keine Angabe
$ {\displaystyle{\frac{k}{(n-k)\,n}}}$ $ {\displaystyle{\frac{n!}{(k-n)!\,k!}}}$      $ {\displaystyle{\frac{n^n}{n!\,k!}}}$      $ {\displaystyle{\frac{n^k}{(n-k)!}}}$ $ {\displaystyle{\frac{n!}{k!\,(n-k)!}}}$ $ {\displaystyle{\frac{k!}{n!\,(k-n)!}}}$
,
für $ n\in\mathbb{N}\,, \quad k\in \{0,\,\ldots , n\}$.
b)
Der binomische Satz hat die Form      $ {\displaystyle{(a+b)^n=\sum_{k=0}^n c_k\;a^k\;b^{n-k}}}$.

Stimmen folgende Ausdrücke mit $ c_2$ überein (J für ,,ja``, N für ,,nein``)?

           
$ {\displaystyle{\binom{2}{n}}}$ $ {\displaystyle{\binom{n}{2}}}$ $ {\displaystyle{\frac{n!}{2! (n-2)!}}}$ $ {\displaystyle{\binom{n}{n-2}}}$ $ {\displaystyle{\frac{n}{2 (n-2)}}}$ $ {\displaystyle{\binom{n-2}{2}}}$

Aufgabe 9:
Kreuzen Sie an, welche der angegebenen Mengen gleich mächtig bzw. nicht gleich mächtig sind. Hinweis: $ [1, 2]=\{x\in\mathbb{R} : 1\leq x\leq 2\}$ usw.

        sind gleich mächtig      sind nicht gleich mächtig
$ \{1, 2\}$ und $ [1, 2]$ keine Angabe
$ [1, 2]$ und $ [1, 3]$ keine Angabe
$ \mathbb{N}$ und $ \mathbb{N}\setminus\{1, 2\}$      keine Angabe
$ \mathbb{N}\setminus\mathbb{Z}$ und $ \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$ keine Angabe

Aufgabe 10:
Bestimmen Sie $ {\rm {ggT}} (111, 296)$ mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus. Geben Sie in jedem Schritt die berechnete Zerlegung an.
    $ =$         $ \cdot$          $ +$     
    $ =$         $ \cdot$          $ +$     
    $ =$         $ \cdot$          $ +$     
        




$ \Longrightarrow \quad \ {\rm {ggT}} (111, 296) \ = \ $
Aufgabe 11:
Kreuzen Sie an, ob es sich bei den angegebenen mathematischen Strukturen um Gruppen handelt.

        ist Gruppe      ist keine Gruppe
$ (\mathbb{N} , \cdot)$ keine Angabe
$ (\mathbb{R} , +)$ keine Angabe
$ (\mathbb{R} , \cdot)$ keine Angabe
$ (\mathbb{F}_3 , +)$      keine Angabe
Aufgabe 12:
Sei $ (a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Folge, und sei $ n\in\mathbb{N}$, mit $ n\geq 2$.

Geben Sie an, ob die folgenden Summen gleich $ {\displaystyle{\sum_{k=2}^n a_k}}$ sind     (J für ,,ja``, N für ,, nein``).

$ {\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-2} a_{k-2}}}$ $ {\displaystyle{\sum_{k=4}^{n+2} a_{k-2}}}$ $ {\displaystyle{\sum_{k=4}^{n+2} a_k}}$ $ {\displaystyle{\sum_{k=2}^{n-2} a_{k+2}}}$
   
(Konzipiert von P. H. Lesky unter Mitwirkung von C. Apprich) automatisch erstellt am 11.8.2017