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Mathematik-Online-Test:

Quadriken, mehrdimensionale Analysis

Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V3   A2 V1   A3 V3   A4 V2   A5 V3 
Variantenauswahl:

Test mit ausgewählten Varianten .

Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen für beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen $ f$ richtig und welche falsch sind.

a) $ \operatorname{grad}(2f) = 2\operatorname{grad} f$  keine Angabe wahr falsch
b) $ x^2+y^2=z $ beschreibt ein Paraboloid  keine Angabe wahr falsch
c) $ \operatorname{J}f$ ist symmetrisch  keine Angabe wahr falsch
d) An einem Hochpunkt ist $ \operatorname{Spur}\left(\operatorname{H}f(x,y)\right) =0$  keine Angabe wahr falsch
e) Für die Richtungsableitung gilt $ \partial_{(2a,2b)} f = 2\partial_{(a,b)} f$  keine Angabe wahr falsch
f) $ \partial^{(2,1)}\left(x_1x_2\right)^{2} =4x_2$  keine Angabe wahr falsch
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix $ \operatorname{J} f$ für die Funktion

$\displaystyle f(x,y) =\left(\begin{array}{c}xy^2\\ x^3+y\end{array}\right)\,, $

sowie an der Stelle $ (x,y)=(1,1)$ die Jacobi-Matrix der Funktionen $ g=f\circ f$ und $ h=f+g$.

Antwort:

$ \left.\operatorname{J} g\right\vert _{(1,1)} = \left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$,           $ \left.\operatorname{J} h\right\vert _{(1,1)} = \left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die quadratische Taylor-Approximation $ p(x,y)$ von
$ f(x,y)=e^{x+y}\cos(x)$ im Punkt $ (0,0)$ und schätzen Sie damit den Wert $ f(0.1,0.1)$.

Lösung:(Geben Sie alle Ergebnisse auf die vierte Nachkommastelle gerundet an)

$ p(x,y)=$ $ +$ $ x+$ $ y+$ $ x^2+$ $ xy+$ $ y^2$,          $ p(0.1,0.1)=$

Aufgabe 4:
Schreiben Sie die Quadrik

$\displaystyle Q:\ 3x_1^2-2x_1x_2+\alpha x_2^2=4$

in Matrixform und geben Sie den Typ der Quadrik in Abhängigkeit von dem Parameter $ \alpha\in\mathbb{R}$ an. Bestimmen Sie für $ \alpha=3$ die Hauptachsenrichtungen und die Normalform der Quadrik $ Q$.

Lösung:

Matrixform:
$ Q:\ x^{\operatorname t}\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \alpha$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)x + 2\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)^{\operatorname t}x + $ $ = 0$
Typ der Quadrik: mit $ b=$ gilt
für $ \alpha \in (-\infty,b)$: keine Angabe Punkt Gerade(n) Ellipse Hyperbel Parabel
für $ \alpha \in \left\{b\right\}$: keine Angabe Punkt Gerade(n) Ellipse Hyperbel Parabel
für $ \alpha \in (b,\infty)$: keine Angabe Punkt Gerade(n) Ellipse Hyperbel Parabel
   
Hauptachsenrichtungen: (Wählen Sie die zweite Komponente positiv)
  $ v_1=(-1$ , $ )^{\operatorname t}$,         $ v_2=(1$ , $ )^{\operatorname t}$
Normalform: (sortieren Sie die Koeffizienten aufsteigend)
  $ Q:\ $ $ w_1^2+$ $ w_2^2-1=0$
Aufgabe 5:
Skizzieren Sie für die Funktion

$\displaystyle f(x,y) = \left(3x^2+\frac{1}{4}y^2-1\right)x $

die Nullstellenmenge, sowie die sich daraus ergebende Vorzeichenverteilung.
Berechnen Sie $ f_x$ und $ f_y$ und bestimmen Sie alle kritischen Punkte von $ f$, sowie deren Typ.


Antwort:(Geben Sie alle Ergebnisse auf die vierte Nachkommastelle gerundet an)

Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung:         keine Angabe

\includegraphics[width=.3\linewidth]{a5_v1_l_bild} \includegraphics[width=.3\linewidth]{a5_v2_l_bild} \includegraphics[width=.3\linewidth]{a5_v3_l_bild}

Tragen Sie in die Tabelle alle kritischen Punkte von $ f$ ein und kreuzen Sie deren Typ an. Sortieren Sie die kritischen Punkte zunächst aufsteigend nach den $ x$-Werten und anschließend aufsteigend nach den $ y$-Werten.

kritischer Punkt   lokales Minimum lokales Maximum Sattelpunkt
$ ($,$ )$ keine Angabe
$ ($,$ )$ keine Angabe
$ ($,$ )$ keine Angabe
$ ($,$ )$ keine Angabe
   
(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von M. Boßle und J. Hörner) automatisch erstellt am 11.8.2017