Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

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	Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die abgebildeten Flaschen sind zu einem Drittel, zu zwei Dritteln bzw. ganz gefüllt und enthalten eine alkoholische Flüssigkeit unterschiedlicher Konzentration.

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{TdM_09_A3_bild1.eps}$

Die Inhalte werden vermischt, indem eine der nur teilweise gefüllten Flaschen aus einer der anderen beiden Flaschen vollständig gefüllt wird. Welche Alkoholkonzentrationen einer vollen Flasche sind nach ein- oder zweimaligem Umfüllen möglich?
Welche Konzentration ergibt sich bei Mischen des Inhalts aller drei Flaschen?

Antwort:

Mögliche Konzentrationen nach ein- oder zweimaligem Umfüllen:
< < < < <
Gesamtkonzentration:

(alle Angaben in % und in aufsteigender Reihenfolge)

Lösung:

Bezeichnen die Konzentrationen der zu 1/3, zu 2/3 und ganz gefüllten Flaschen, so gibt es für die Konzentrationen nach einem Umfüllen 3 Möglichkeiten:

Füllen der 1/3- mit der 2/3-Flasche (oder umgekehrt):

$\displaystyle z'_1 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y,\quad z'_2 = z\,.$

Füllen der 1/3-Flasche mit der vollen Flasche:

$\displaystyle z' = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}z,\quad x' = z,\quad y' = y\,.$

Füllen der 2/3-Flasche mit der vollen Flasche:

$\displaystyle z' = \frac{2}{3}y + \frac{1}{3}z,\quad x' = x,\quad y' = z\,.$

Der Umfüllprozess lässt sich also in einem Baumdiagramm illustrieren.

$\includegraphics{TdM_09_A3_bild2}$

Die möglichen Konzentrationen voller Flaschen,

$\displaystyle 15,\,19,\,21,\,27,\,29,\,33,$
sind unterstrichen.
Mischt man zwei volle Flaschen, die beim Umfüllen entstehen, so erhält man die Gesamtkonzentration

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 27+\frac{1}{2}\cdot 21 = 24\,.$

[Aufgabe der Woche]