Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] Englische Flagge
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt einen Kreis mit Radius $ 1,$ der die Parabel

$\displaystyle P:\ y = x^2 $

in zwei Punkten berührt.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{TdM_11_A1_bild}


Bestimmen Sie den Kreismittelpunkt $ M=(0,m),$ den Berührpunkt $ B=(b,b^2)$ sowie die Inhalte der beiden schattierten Flächen $ F_1$ und $ F_2.$


Antwort:

$ m = $  
$ b = $  
$ F_1 = $  
$ F_2 = $  

(Geben Sie die Ergebnisse auf vier Dezimalstellen gerundet an.)

Lösung:

Die Gerade $ g$ durch den Mittelpunkt $ M = (0,m)$ und den Berührpunkt $ B = (b,b^2)$ steht senkrecht auf der Tangente. Somit gilt für die Steigungen

$\displaystyle -1 = s_g \cdot s_t = \dfrac{b^2 - m}{b} \cdot 2b . $

Auflösen nach der Koordinate des Mittelpunktes ergibt

$\displaystyle m = b^2 + \dfrac{1}{2}. $

Aus

$\displaystyle 1 = \vert\overline{MB}\vert^2 = (0-b)^2 + {(m-b^2)}^2 = b^2 + \dfrac{1}{4} $

folgt
$ b = \sqrt{3} / 2 \approx 0.8660$     und      $ m = 5/4 = 1.25.$

\includegraphics[width=.45\linewidth]{TdM_11_A1_Lsg_bild}

Das Dreieck $ BM\tilde{B}$ hat die Höhe $ \vert\overline{SM}\vert=m-b^2=1/2$ und die Basislänge $ 2b=\sqrt{3}$ und somit einen Flächeninhalt von $ \sqrt{3}/4\,.$ Es ist gleichschenklig mit einem Basiswinkel $ \alpha = \sphericalangle \, (M,B,S)$ von $ 30^\circ$ (weil $ \sin\alpha = 1/2$). Damit ist $ \sphericalangle \, (\tilde{B},M,B) = 120^\circ .$
Somit hat der Kreissektor einen Flächeninhalt von

$\displaystyle \dfrac{120}{360} \pi = \dfrac{\pi}{3}\,, $

woraus sich der Flächeninhalt des Kreissegments $ F_3$ ergibt:

$\displaystyle F_3 = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,. $

Der Flächeninhalt $ F_1$ lässt sich bestimmen als Inhalt zwischen der Geraden $ y=b^2$ und der Parabel $ y=x^2$ im Bereich von $ -b$ bis $ b,$ vermindert um den Inhalt des Kreissegments $ F_3$.

$ F_1$ = $ \displaystyle \int_{-b}^b b^2 -x^2\,dx - F_3 $
  = $ 2b^3 - \dfrac23 b^3 - \dfrac\pi3+\dfrac{\sqrt{3}}{4} $
  = $ \dfrac{4}{3} b^3 - \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
  = $ \dfrac{3}{4} \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3} \approx 0.2518 .$

Den doppelten Inhalt der Fläche $ F_2$ erhält man, indem man von der durch die Parabel und die Gerade $ h: y = m + 1 = 9/4$ begrenzten Fläche die Kreisfläche und $ F_1$ abzieht.

$ 2F_2$ = $ \displaystyle 2 \int_{0}^{3/2} \dfrac{9}{4} - x^2dx - \pi - F_1$
  = $ 2 \left[\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{3}{2}\right)^3\right] - \pi - \left[\dfrac{3}{4} \sqrt{3} - \dfrac{\pi}{3}\right]$
  = $ \dfrac{9}{2} - \dfrac{2}{3}\pi - \dfrac{3}{4}\sqrt{3} $

$\displaystyle \Longrightarrow F_2 = \dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{3}\pi - \dfrac{3}{8}\sqrt{3} \approx 0.5533 \ , $

wobei die obere Grenze des Integrals aus der Gleichung $ x^2 = \dfrac94$ gewonnen wurde.

[Aufgabe der Woche]