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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt ein Mobile, das aus einem Stab der Länge 2 (oberster Stab) und drei Stäben der Länge 1 (sonstige Stäbe) besteht.

\includegraphics[clip,width=10cm]{Mobile_Bild1}

Welche Breite $ b$ hat das Mobile, wenn nur die angegebenen Massen der Kugeln berücksichtigt werden? Wie viele verschiedene, d.h. nicht durch Drehen der Stäbe ineinander überführbare Mobiles (z.B. sind die Anordnungen 3-1-1-1-2 und 1-3-1-1-2 nicht zu unterscheiden) lassen sich durch Permutation der Gewichte konstruieren? Welche Anordnung der Gewichte führt auf die maximale Breite $ b_{max}$?

Hinweis:
\includegraphics[bb=135 545 340 620,clip,width=.42\linewidth]{Mobile_Bild3bb}
$ l_1\,:\,l_2=m_2\,:\,m_1$


Antwort:

$ b$ $ =$ $ /$
Anzahl der Mobiles $ =$
Anordnung $ =$ ; ; ; ;
$ b_{max}$ $ =$ $ /$

(Brüche vollständig kürzen.)

Lösung:

Breite $ b$ des Mobiles:
$ l_1 = \dfrac{m_2}{m_1+m_2},\ \ $ $ l_2 = \dfrac{m_3}{m_1+m_2+m_3},\ \ $ $ l_3 = \dfrac{m_4}{m_4+m_5}.$

\includegraphics[clip,width=.6\linewidth]{Mobile_Bild2}

Mit $ m_1=3,$ $ m_2=1,$ $ m_3=1,$ $ m_4=1$ und $ m_5=2$ ergibt sich

$\displaystyle b = l_1+l_2+2+l_3 = \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+2+\frac{1}{3}= \frac{167}{60}. $

Anzahl der verschiedenen Mobiles:

Die Platzierung des Gewichtes mit der Masse 3 in den Positionen 1, 3 und 4 führt auf verschiedene Mobiles. Für diese Positionen hat man 3, 2 bzw. 3 Möglichkeiten für das Gewicht mit der Masse 2. Insgesamt ergeben sich

$\displaystyle 3+2+3=8$

verschiedene Möglichkeiten.

Anordnung mit maximaler Breite:

Die Länge des obersten Stabes ist immer 2 - egal, wie die Gewichte verteilt sind.
Betrachte $ l_1=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}$: Falls $ m_1<m_2,$ wird $ l_1$ maximal. D.h., dass das größere Gewicht in die Mitte muss. Damit ist $ m_1=1$ und $ m_5=1$.
Betrachte $ l_2=\dfrac{m_3}{m_1+m_2+m_3}$: Falls $ m_3$ die größte der drei Massen ist, wird $ l_2$ maximal. Somit bleiben die Möglichkeiten:

$ m_1$ $ m_2$ $ m_3$ $ m_4$ $ m_5$ $ l_1+l_2+l_3$
1 1 2 3 1 $ \frac{7}{4}$
1 1 3 2 1 $ \frac{53}{30}$
1 2 3 1 1 $ \frac{5}{3}$

Damit weist die zweite Möglichkeit die größte Breite auf:

$\displaystyle b_{max}=\frac{53}{30}+2=\frac{113}{30}.$

[Aufgabe der Woche]