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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1281: Konvergenz einer Taylorreihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  1. Bestimmen Sie das Taylorpolynom $ n-$ten Grades ( $ n\in\mathbb{N}$) der Funktion

    $\displaystyle f:\,\R\,\to\R\, : \, x\mapsto \begin{cases} \e^{-1/x^2} & \textrm{ f\uml ur } x>0\\ 0 & \textrm{ f\uml ur } x\leq 0 \end{cases}$

    an der Stelle $ x_0=0$.
  2. Zeigen Sie, dass die Taylorreihe $ T(x)$ an der Stelle $ x_0=0$ in keinem Punkt $ x>0$ konvergiert. ( $ \lim_{n\to\infty} R_n(x)\neq0$ für $ x>0$).
Hinweis: Es gilt

$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\e^{-1/x^2}}{x^n} = \lim_{y\to\infty } y^n\e^{-y^2} $

mit $ y=1/x$.
(Aus: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik SS06, Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 29. 10. 2006