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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1281: Konvergenz einer Taylorreihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  1. Bestimmen Sie das Taylorpolynom $ n-$ten Grades ( $ n\in\mathbb{N}$) der Funktion

    $\displaystyle f:\,\R\,\to\R\, : \, x\mapsto \begin{cases} \e^{-1/x^2} & \textrm{ f\uml ur } x>0\\ 0 & \textrm{ f\uml ur } x\leq 0 \end{cases}$

    an der Stelle $ x_0=0$.
  2. Zeigen Sie, dass die Taylorreihe $ T(x)$ an der Stelle $ x_0=0$ in keinem Punkt $ x>0$ konvergiert. ( $ \lim_{n\to\infty} R_n(x)\neq0$ für $ x>0$).
Hinweis: Es gilt

$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\e^{-1/x^2}}{x^n} = \lim_{y\to\infty } y^n\e^{-y^2} $

mit $ y=1/x$.
  1. Aus dem Hinweis folgt mit n-facher Anwendung von l'Hospital:

    $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^n} =\lim_{y \to \infty... ... \infty} \frac{y^n}{e^{y^2}} =\lim_{y \to \infty} \frac{0}{p(y) e^{y^2}}=0,p(y)$    Polynom$\displaystyle $

    Damit gilt auch für jede Funktion $ g(x^{-1})$ der Form $ g(x^{-1})=\sum_{k=1}^n a_k \frac{1}{x^k}, a_k \in \mathbb{R}$:

    $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x)e^{-\frac{1}{x^2}}=0 $

    Behauptung: Jede Ableitung $ f^{(n)}(x)$ hat die Form

    $\displaystyle g(x^{-1})e^{-\frac{1}{x^2}}, g$   Polynom$\displaystyle ,x=0 $

    Beweis: Für jede Ableitung an der Stelle 0 gilt jetzt:

    $\displaystyle f^{(n)}(0)=\lim_{x \to 0} \frac{p(x^{-1})e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=0 $

    Das Taylorpolynom hat damit die Form

    $\displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k =0 $

  2. Die Taylorreihe kann nicht konvergieren, denn aus der vorangehenden Zeile folgt:

    $\displaystyle R_n(x)=f(x)-T_n(x)=f(x) \forall n \in \mathbb{N} {o} $

    Das Restglied konvergiert also nicht gegen 0, da $ f(x)>0$ für $ x > 0$
(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 20.  6. 2006