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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 884: Trigonometrische Integrale, Funktion und Umkehrfunktion


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(1)
Berechne $ \mbox{$A_1:=\int_0^{\pi/2}\sin x\,{\mbox{d}}x$}$.
(2)
Berechne $ \mbox{$B_1:=\int_0^1\arcsin x\,{\mbox{d}}x$}$.
(3)
Berechne $ \mbox{$A_2:=\int_0^{\pi/4}\tan x\,{\mbox{d}}x$}$.
(4)
Berechne $ \mbox{$B_2:=\int_0^1\arctan x\,{\mbox{d}}x$}$.
(5)
Bestimme $ \mbox{$A_1 + B_1$}$ und $ \mbox{$A_2 + B_2$}$ erneut, aber ohne Rechnung.

(1)
Es wird $ \mbox{$\int_0^{\pi/2}\sin x\,{\mbox{d}}x = [-\cos x]_0^{\pi/2} = 1$}$.
(2)
Mit der Substitution $ \mbox{$x=\sin u$}$ und $ \mbox{${\displaystyle\frac{{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}u}} = \cos u$}$ wird
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int _0^1\arcsin x\,{\mb...
...
&=& \pi/2-[-\cos u]_0^{\pi/2}\vspace*{2mm}\\
&=& \pi/2 -1 \;.
\end{array}$}$

(3)
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int _0^{\pi/4}\tan x\,{...
...
&=& [-\log u]_1^{\sqrt{2}/2}\vspace*{2mm}\\
&=& (\log 2)/2 \;.
\end{array}$}$

(4)
Es wird mit partieller Integration und anschließender Substitution $ \mbox{$u=1+x^2$}$
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int _0^1 1\cdot\arctan ...
...t([\log u]_1^2\right)/2\vspace*{2mm}\\
&=& \pi/4-(\log 2)/2 \;.
\end{array}$}$

(5)
Es ist $ \mbox{$A_1 + B_1$}$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$\pi/2$}$, also $ \mbox{$A_1 + B_1 = \pi/2$}$.
\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{s1_sin.eps}

Es ist $ \mbox{$A_2 + B_2$}$ der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$\pi/4$}$, also $ \mbox{$A_2 + B_2 = \pi/4$}$.

\includegraphics[width=6cm,height=10cm]{s1_tan.eps}
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005