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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1472: Integrationsaufgaben.

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Lösen Sie folgende Integrationsaufgaben und fertigen Sie eine Skizze des beschriebenen Körpers an.
  1. Gegeben ist die durch $ x^2+y^2+z^2=2az$ berandete Kugel $ B$ und der durch $ x^2+y^2-z^2=0$ berandete Kegel $ K$. Zeigen Sie, dass das Verhältnis der Volumina von $ B\setminus K$ zu $ B\cap K$ gleich 1:3 ist.
  2. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Flächen $ az=x^2+y^2$ und $ 2az=a^2-x^2-y^2$ begrenzt wird.
  1. Durch quadratisches Ergänzen erhalten wir für die Kugelgleichung

    $\displaystyle x^2+y^2+(z-a)^2=a^2\,. $

    Es handelt sich also um eine Kugel mit Radius $ a$ und Mittelpunkt $ (0,0,a)$.

    Wir berechnen das Volumen des Kegelabschnitts mittels der Formel für Rotationskörper

    $\displaystyle \int_0^a x^2\pi \,\mathrm{d} x = \frac 13 a^3\pi $

    und da das Volumen der Kugel $ B$ gleich $ \frac 43 a^3\pi $ ist, ergibt sich das angegebene Verhältnis.
  2. Der Radius des Rotationskörpers bzgl. der $ z$-Achse ist für $ 0\leq z \leq \frac a2$ gegeben durch

    $\displaystyle r(z)= \min \{\sqrt{az}, \sqrt{a^2-2az}\}. $

    Wir berechnen den Schnittpunkt

    $\displaystyle az= a^2-2az \Rightarrow z=\frac a3 $

    Es ist also das Volumen gleich

    $\displaystyle \int_0^{a/3}\pi az \,\mathrm{d} z + \int_{a/3}^{a/2}\pi (a^2-2az)... ...c 1{18}+ \frac 12 -\frac 13 - \frac 14 + \frac 19 \right) = \frac 1{12}\pi a^3 $

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 29. 10. 2006