Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Analytische Geometrie-Quadriken-Grobeinteilung der Quadriken

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Quadriken
	Grobeinteilung der Quadriken

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Ausgehend von der Gleichung einer Quadrik

$\displaystyle Q:\quad x^{\operatorname t}A x + 2b^{\operatorname t}x + c =0$

setzt man

$\begin{displaymath} \tilde{A} = \left( \begin{array}{c\vert c} c & b^{\operatorname t}\\ \hline b & A \end{array}\right)\,. \end{displaymath}$

Mit $\tilde x^t = (1,x_1,\ldots,x_n)$ kann man

auch in der homogenen Form

$\displaystyle Q: \quad \tilde x^t\tilde A\tilde x = 0$

schreiben.

Man unterscheidet die folgenden Typen:

kegelige Quadrik $\operatorname{Rang} \tilde{A} =\operatorname{Rang} A$ ,
Mittelpunktsquadrik $\operatorname{Rang} \tilde{A} =\operatorname{Rang} A +1$ ,
parabolische Quadrik $\operatorname{Rang} \tilde{A} =\operatorname{Rang} A +2$ ,

(Autoren: App/Höllig)

Gegeben sei die Quadrik

$\displaystyle Q:\quad x_1^2 +\lambda x_2^2 +2x_2 +\lambda =0$

mit $\lambda\in\mathbb{R}$ , bzw. in Matrixschreibweise

$\displaystyle Q:\quad x^{\operatorname t}A x + 2b^{\operatorname t}x + c =0$

mit

$\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \lambda\\ \end{arr... ...0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & \lambda\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}$

Für $\lambda=0$ ist $\operatorname{Rang} A =1$ , ansonsten ist $\operatorname{Rang} A =2$ . Für $\lambda=\pm 1$ ist $\operatorname{Rang} \tilde{A} =2$ , ansonsten ist $\operatorname{Rang} \tilde{A} =3$ . Somit ist

für $\lambda=0$ eine parabolische, für $\lambda=\pm 1$ eine kegelige und für alle anderen Werte von $\lambda$ eine Mittelpunktsquadrik.

(Autoren: App/Höllig)

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automatisch erstellt am 23.5.2011