Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Grundlegende Strukturen-Skalarprodukt und Norm-Skalarprodukt

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Skalarprodukt und Norm
	Skalarprodukt

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Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum

ist eine Abbildung

$\displaystyle \langle\cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$

mit folgenden Eigenschaften:

Positivität:

$\displaystyle \langle v,v \rangle > 0$ für $\displaystyle v \ne 0$
Schiefsymmetrie:

$\displaystyle \langle u,v \rangle = \overline{\langle v,u \rangle}$
Linearität:

$\displaystyle \langle \lambda u+ \varrho v,w \rangle = \lambda \langle u,w \rangle + \varrho \langle v,w \rangle$

Dabei sind $u,v,w \in V$ und $\lambda, \varrho \in \mathbb{C}$ beliebige Vektoren bzw. Skalare.

Aufgrund der Schiefsymmetrie ist ein komplexes Skalarprodukt bzgl. der zweiten Variablen nicht linear:

$\displaystyle \langle u, \lambda v+ \varrho w \rangle = \overline{\lambda} \langle u,v \rangle + \overline{\varrho} \langle u,w \rangle\,.$

Lediglich für reelle Skalare ist die komplexe Konjugation ohne Bedeutung.

(Autoren: App/Höllig/Kreitz)

Die resultierende Asymmetrie ist notwendig, um die Positivität des komplexen Skalarproduktes zu gewährleisten. Beispielsweise ist

$\displaystyle \langle \mathrm{i} v, \mathrm{i} v \rangle \ne \mathrm{i}^2 \langle v, v \rangle = - \langle v, v \rangle < 0$

für $v\ne 0$ . Vielmehr gilt

$\displaystyle \langle \mathrm{i} v, \mathrm{i} v \rangle = (\mathrm{i}\bar{\mathrm{i}}) \langle v, v \rangle = \langle v, v \rangle > 0\, .$

Die Positivität ist wichtig, um via

$\displaystyle \vert v\vert = \sqrt{\langle v, v\rangle}$

eine Norm definieren zu können.

(Autoren: Höllig/Hörner)

Für Vektoren $x,y\in\mathbb{R}^2$ werden eine Reihe möglicher Definitionen reeller Skalarprodukte betrachtet. In der nachstehenden Tabelle ist jeweils angegeben, welche der Eigenschaften erfüllt sind.

Skalarprodukt	Eigenschaften
	alle
	Linearität
$\vert x_1y_1\vert+\vert x_2y_2\vert$	Positivität, Symmetrie
	Symmetrie

Nur die erste Definition besitzt alle geforderten Eigenschaften. In dem komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^2$ ist dies allerdings nicht der Fall, sowohl die Positivität als auch die Schiefsymmetrie sind nicht erfüllt:

$\displaystyle \quad \langle (\mathrm{i},0),(\mathrm{i},0)\rangle$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 10\mathrm{i}^2 = -10 < 0$
$\displaystyle \quad \langle (\mathrm{i},0),(1,0)\rangle$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 10\mathrm{i} \neq \overline{\langle (1,0),(\mathrm{i},0)\rangle} = -10\mathrm{i}$

Indem man die Komponenten des zweiten Arguments komplex konjugiert, werden die Probleme behoben. Die Definition

$\displaystyle \langle x, y \rangle = 10 x_1 \bar y_1 + x_2 \bar y_2$

liefert die richtige Erweiterung auf den komplexen Fall.

(Autoren: Höllig/Hörner)

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automatisch erstellt am 23.5.2011