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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Basen

Dimension

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Besitzt ein Vektorraum $ V$ eine endliche Basis $ B=\{b_1, \ldots ,b_n\}$, so ist die Anzahl der Basisvektoren eindeutig bestimmt und wird als Dimension von $ V$ bezeichnet:

$\displaystyle n=\mathop{\rm dim } V \; .$

Man setzt $ \mathop{\rm dim } V=0$ für $ V=\{0\}$ und $ \mathop{\rm dim } V=\infty$ für einen Vektorraum ohne endliche Basis.

Nach dem allgemeinen Basissatz besitzt jeder Vektorraum eine Basis.

(Autoren: App/Höllig/Kimmerle)
Um zu zeigen, dass die Dimension im endlichen Fall eindeutig bestimmt ist, genügt es, die folgende Aussage zu beweisen:

Hat ein Vektorraum eine $ n$-elementige Basis

$\displaystyle b_1,\ldots,b_n\, , $

so sind $ n+1$ Vektoren $ v_1,\ldots,v_{n+1}$ (und damit auch mehr als $ n+1$ Vektoren) linear abhängig.

Würden nämlich zwei Basen mit unterschiedlich vielen Vektoren existieren, erhält man einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren.

Die obige Behauptung kann durch Induktion nach $ n$ bewiesen werden.

Für den Induktionsschritt (der Induktionsanfang $ n=1$ ist trivial) betrachtet man die Basisdarstellung der Vektoren $ v_i$:

$\displaystyle v_i = \sum_{j=1}^n \gamma_{i,j} b_j,\quad i=1,\ldots,n+1\, .$    

Gilt

$\displaystyle \gamma_{i,1}=\cdots=\gamma_{i,n}=0\,, $

so ist $ v_i=0$, und die lineare Abhängigkeit ist bereits gezeigt. Also kann man durch geeignete Nummerierung annehmen, dass $ \gamma_{n+1,n}\ne 0$. Ausgehend von obiger Gleichung definiert man nun Vektoren, die sich als Linearkombination der $ n-1$ Vektoren $ b_1,\ldots,b_{n-1}$ darstellen lassen:

$\displaystyle v'_i = v_i - \frac{\gamma_{i,n}}{\gamma_{n+1,n}} v_{n+1}, \quad i=1,\ldots,n\, . $

Dass der Koeffizient von $ b_n$ verschwindet, ist leicht zu sehen. Da

$\displaystyle v'_1,\ldots,v'_n \in V' =$   span$\displaystyle \,\{b_1,\ldots,b_{n-1}\}\, , $

kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhält eine nichttriviale Linearkombination

$\displaystyle \lambda_1 v'_1 + \cdots + \lambda_n v'_n = 0\, . $

Nach Umformung ergibt sich eine Linearkombination der $ v_i$, also die behauptete lineare Abhängigkeit.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011