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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Spezielle Matrizen

Normtreue orthogonaler und unitärer Matrizen

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Eine reelle (komplexe) Matrix $ A$ ist genau dann orthogonal (unitär), wenn sie die euklidische Norm jedes Vektors invariant lässt:

$\displaystyle \vert Av\vert = \vert v\vert\, . $

(Autoren: App/Höllig)

Es braucht nur der komplexe Fall betrachtet zu werden, der den reellen Fall einschließt.

(i) Ist $ A$ unitär, so gilt

$\displaystyle (Ay)^*(Ax) = y^*A^*Ax=y^*x $

es folgt also allgemeiner die Invarianz des komplexen Skalarproduktes, was die Normtreue einschließt.

(ii) Aus der Normtreue folgt zunächst, dass die Spalten $ v_j$ von $ A$ als Bilder der Einheitsvektoren $ e_j$ Norm eins haben. Um zu zeigen, dass verschiedene Spalten orthogonal sind, wählt man $ \lambda = \exp(\mathrm{i}\vartheta)$, so dass

$\displaystyle (\lambda v_k)^*v_j \in \mathbb{R}\, . $

Dann gilt aufgrund der Normtreue und Definition der euklidischen Norm

$\displaystyle 2 = \vert e_j+\lambda e_k\vert^2 = \vert v_j+\lambda v_k\vert^2 ... ... 2 \operatorname{Re}(\lambda v_k)^*v_j= 2+2 \overline{\lambda} v_k^*v_j \,, $

folglich muss das Skalarprodukt auf der rechten Seite verschwinden.
(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011