Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Grundlegende Strukturen-Gruppen und Körper-Transposition und Signum von Permutationen

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	Transposition und Signum von Permutationen

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Eine Transposition

$\displaystyle \tau = (j \ k)$

ist eine Vertauschung von

und

. Durch Verknüpfung dieser elementaren Permutationen lässt sich jede Permutation $\pi$ darstellen:

$\displaystyle \pi = \tau_1 \circ \cdots \circ \tau_m\, .$

Dabei ist die Parität (gerades oder ungerades

) eindeutig bestimmt, und man definiert

$\displaystyle \sigma(\pi) = (-1)^m$

als Vorzeichen oder Signum der Permutation $\pi$ .

(Autoren: Höllig/Knesch)

Für

$\tau_1\circ\cdots\circ \tau_m = \pi \in S_n$

mit $k=\pi(n)$ ist

$\displaystyle \tilde\pi=(k,n)\circ \pi \in S_{n-1}\, ,$

denn durch die Komposition mit der Transposition wird

fest gelassen. Induktiv kann man annehmen, dass die Parität in der induzierten Zerlegung von $\tilde \pi$ eindeutig bestimmt ist, folglich auch das Vorzeichen von

(Autoren: Höllig/Knesch)

Um das Signum der Permutation

$\displaystyle \pi = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 3 & 1 & 2 & 4 \end{array}\right)$

zu bestimmen, überführt man

$\displaystyle \left( \pi(1), \dots ,\; \pi(6) \right) = \left( 6,\ 5,\ 3,\ 1,\ 2,\ 4 \right)$

durch Transpositionen sukzessive in die kanonische Reihenfolge:

$\displaystyle \left( 1 \ 6 \right)$	$\displaystyle :$	$\displaystyle \left( 1 \ 5 \ 3 \ 6 \ 2 \ 4 \right)$
$\displaystyle \left( 2 \ 5 \right)$	$\displaystyle :$	$\displaystyle \left( 1 \ 2 \ 3 \ 6 \ 5 \ 4 \right)$
$\displaystyle \left( 4 \ 6 \right)$	$\displaystyle :$	$\displaystyle \left( 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \right).$