Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Matrizen-Determinanten-Determinanten spezieller Matrizen

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	Determinanten spezieller Matrizen

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Für einige spezielle $(n\times n)$ Matrizen läßt sich die Determinante unmittelbar angeben.

Dreiecksmatrix: Ist $a_{i,j}=0$ für oder , so gilt

$\displaystyle \operatorname{det}A = a_{1,1}\cdots a_{n,n}\, .$
Blockdiagonalmatrix: Hat die Matrix Blockstruktur mit $A_{i,j}=0$ , $i\neq j$ und quadratischen Diagonalblöcken $A_{i,i}$ , so gilt

$\displaystyle \operatorname{det}B = \prod\limits_{i=1}^k \operatorname{det}A_{i,i}\,.$
Orthogonale und unitäre Matrix: Für eine unitäre Matrix gilt

$\displaystyle \vert\operatorname{det}U\vert=1\,.$
Speziell ist für eine orthogonale Matrix $(u_{i,j}\in \mathbb{R})$

$\displaystyle \operatorname{det}U \in \{-1,1\}\,.$

(Autoren: Höllig/Hörner)

Dreiecksmatrix: Da $\operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{\operatorname t}$ ist, genügt es eine obere Dreiecksmatrix zu betrachten. Für eine Permutation

von $(1,\ldots,n)$ , die nicht die Identität ist, folgt, dass es mindestens ein Element

mit

geben muss, das heißt $a_{i_k,k}=0$ . Somit reduziert sich die Summe auf den Eintrag für die Identität, und die Determinante ergibt sich als das Produkt der Diagonalelemente.

Blockdiagonalmatrix: Betrachtet man zunächst nur eine Aufteilung in 2 Diagonalblöcke der Größe und , so reicht es aus über die Permutationen zu summieren, die die ersten Elemente unter sich und damit auch die letzten Elemente unter sich vertauschen, da die anderen zu einem Summanden 0 führen. Die verbleibenden Summanden lassen sich als Produkt einer Permutation der ersten und einer Permutation der letzten Elemente schreiben:

$\displaystyle {\operatorname{det}B}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\sum\limits_{i\in S_n}\sigma(i) (a_{i_1,1}\cdots a_{i_{n_1},n_1}) (a_{i_{n_1+1},n_1+1}\cdots a_{i_{n},n})}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\left( \sum\limits_{k\in S_{n_1}} \sigma(k) (a_{k_1,1}\cdots a_{... ...s_{l\in S_{n_2}} \sigma(l) (a_{n_1+l_1,n_1+1}\cdots a_{n_1+l_{n_2},n}) \right)}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\operatorname{det}A_{1,1}\operatorname{det}A_{2,2}}\,.$

Induktiv erhält man daraus die Aussage für eine Aufteilung in mehr als zwei Blöcke.

Orthogonale und unitäre Matrix: Da sich die Komplexkonjugation in Summen und Produkte hineinziehen lässt und $\operatorname{det}U = \operatorname{det}U^{\operatorname t}$ gilt, folgt aus der Multiplikativität der Determinanten

$\displaystyle 1$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \operatorname{det}E = \operatorname{det}\left(U^\ast U\right) = \operatorname{det}U^\ast\operatorname{det}U$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \overline{\operatorname{det}U^{\operatorname t}}\operatorname{det... ...line{\operatorname{det}U}\operatorname{det}U = \vert\operatorname{det}U\vert\,.$

Im reellen Fall ist die Determinante reell und damit nur

und

möglich.

(Autoren: Höllig/Hörner)

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automatisch erstellt am 23.5.2011