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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Lineare Gleichungssysteme - Klassifikation und allgemeine Struktur

Determinante und Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems

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Ein lineares Gleichungssystem

$\displaystyle Ax = b $

mit quadratischer Koeffizientenmatrix $ A$ besitzt genau dann eine eindeutige Lösung für jede rechte Seite $ b$, wenn $ \operatorname{det} A \ne 0$ bzw. wenn das homogene System $ Ax = 0$ nur die triviale Lösung $ x = 0$ besitzt.

Ist $ \operatorname{det} A = 0$, so existieren Lösungen nur für rechte Seiten $ b$ in dem von den Spalten von $ A$ aufgespannten Unterraum. Die Lösung ist in diesem Fall nicht eindeutig.

(Autoren: Kreitz/Höllig)
Die Behauptung folgt aus den Eigenschaften der Determinante. Äquivalent zu $ \operatorname{det}A\ne 0$ ist nämlich, dass die Spalten $ a_1,\ldots,a_n$ von $ A$ linear unabhängig sind. Definitionsgemäß bedeutet das

$\displaystyle x_1 a_1 + \ldots + x_n a_n = 0 \Leftrightarrow x_1 = \cdots = x_n = 0\, , $

bzw.

$\displaystyle Ax = 0 \Leftrightarrow x=0\, . $

Um die Äquivalenz zur eindeutigen Lösbarkeit des inhomogenen Systems zu erhalten, nutzt man aus, dass die Spalten eine Basis bilden, d.h. jede rechte Seite $ b$ ist eindeutig als Linearkombination

$\displaystyle x_1 a_1 + \ldots + x_n a_n = b \Leftrightarrow Ax = b $

darstellbar.
(Autoren: App/Höllig)

Das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right) \left(\beg... ... \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} u \\ v \end{array}\right) $

hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante

$\displaystyle ad-bc \neq 0 $

ist. In diesem Fall lautet die Lösung

$\displaystyle x = \frac{du-bv}{ad-bc}\,, \qquad y = \frac{av-cu}{ad-bc}\,. $

Falls die Determinante $ ad-bc$ gleich 0 ist, hat das lineare Gleichungssystem im allgemeinen keine Lösung. In diesem Fall können Lösungen nur existieren, wenn

$\displaystyle av$ $\displaystyle = cu$    

und


$\displaystyle bv$ $\displaystyle = du$    

gilt. Ist dann z. B. $ a\neq 0$, so kann man $ y$ beliebig wählen und erhält für $ x$

$\displaystyle x=\frac{u-by}{a}\,. $

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011