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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Diagonalisierung

Basis aus Eigenvektoren

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Existiert zu einer Matrix $ A$ eine Basis aus Eigenvektoren $ v_j$ mit Eigenwerten $ \lambda_j$, so ist

$\displaystyle V^{-1} A V = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n), \quad V = (v_1,\ldots,v_n) \,, $

d.h. bzgl. der Basis $ \lbrace v_1,\ldots ,v_n \rbrace$ hat $ A$ Diagonalform.
(Autoren: App/Höllig)
Zu zeigen, dass

$\displaystyle V^{-1} A V$ $\displaystyle = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$    

gilt, ist äquivalent zu


$\displaystyle AV$ $\displaystyle = V \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) = (\lambda_1 v_1,\ldots,\lambda_n v_n)\,.$    

Da die Spalten $ v_j$ von $ V$ Eigenvektoren von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda_j$ sind, ist dies sofort einzusehen.
(Autoren: App/Höllig)
Die Matrix

\begin{displaymath} A=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} 2 & -6 & 6\\ 1 & -5 & 1\\ 5 & -5 & 1 \end{array}\right) \end{displaymath}

besitzt die Eigenwerte $ -2$, $ -2$ und $ 3$. Zugehörige Eigenvektoren sind z. B.

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right), \quad \left(... ...d{array}\right), \quad \left(\begin{array}{c} 6\\ 1\\ 5 \end{array}\right) \,. $

Mit $ V=(v_1,v_2,v_3)$ ergibt sich

$\displaystyle V^{-1}AV = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)\,. $

(Autoren: App/Höllig)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011