Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]
Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen erster Ordnung

Richtungsfeld

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Das Richtungsfeld einer Differentialgleichung

$\displaystyle y^\prime(x) = f(x,y(x)) $

ordnet jedem Punkt in der $ (x,y)$-Ebene eine Tangente mit Steigung $ f$ zu.

\includegraphics[width=0.5\moimagesize]{Richtungsfeld3.eps}

Die Graphen der Lösungen $ y$ sind in jedem Punkt zum Richtungsfeld tangential. Ist eine Anfangsbedingung

$\displaystyle y(x_0) = y_0 $

gegeben, so verläuft der Graph durch den Punkt $ (x_0,y_0)$.
(Autoren: Fuchs/Höllig)
Die Abbildung zeigt zwei Beispiele von Richtungsfeldern, in denen jeweils einige Lösungen eingezeichnet sind.

\includegraphics[width=0.45\moimagesize]{Richtungsfeld1.eps}          \includegraphics[width=0.45\moimagesize]{Richtungsfeld2.eps}

Aus dem Richtungsfeld lässt sich das qualitative Verhalten von Lösungen unmittelbar erkennen.

Für die linke Differentialgleichung hängt die rechte Seite nicht explizit von $ x$ ab. Folglich sind Lösungen translationsinvariant, d.h. für jede Lösung $ y(x)$ ist $ y(x+c)$ mit $ c \in \mathbb{R}$ ebenfalls eine Lösung. Den Nullstellen des Sinus entsprechen die konstanten Lösungen $ y(x) = j \pi, j \in \mathbb{Z}$. Für ungerades $ j = 2k+1$ sind diese Lösungen anziehend, d.h. für jede Lösung $ \tilde y$ mit Anfangswert $ \tilde y(0) \in (2k\pi, (2k+2)\pi)$ gilt

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \tilde y(x) - (2k+1)\pi = 0\,. $

Für gerades $ j$ hingegen sind die konstanten Lösungen abstoßend.

Bei der rechten Differentialgleichung nehmen die Steigungen für große Werte von $ x$ und $ y$ deutlich zu. Dies führt zu einem starken Wachstum der Lösung. Tatsächlich existiert für positive Anfangswerte $ y(0)$ jede Lösung nur auf einem endlichen Intervall.

(Autoren: Höllig/Kreitz)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 6.6.2011