Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]
Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen erster Ordnung

Differentialgleichung erster Ordnung

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Eine Differentialgleichung erster Ordnung für eine skalare Funktion $ y(x)$ hat die Form

$\displaystyle y^\prime(x)=f(x,y(x))\ , $

wobei das Argument $ x$ oft weggelassen wird ( $ y^\prime=f(x,y)$). Die Lösung ist im allgemeinen nur bis auf eine Konstante bestimmt, die durch eine Anfangsbedingung

$\displaystyle y(x_0)=y_0 $

festgelegt werden kann.
(Autoren: Fuchs/Höllig)

Die Differentialgleichung

$\displaystyle y^\prime = \frac{y}{x}(1-y) $

besitzt die allgemeine Lösung

$\displaystyle y = \frac{x}{x+c} $

mit $ c \in \mathbb{R}$, wie sich durch Nachrechnen verifizieren lässt. Wie beim Bilden von Stammfunktionen (der Spezialfall $ f(x,y(x)) = g(x)$) ist $ y$ nur bis auf eine Integrationskonstante $ c$ bestimmt, die durch einen Anfangswert festgelegt werden kann. Beispielsweise ist für den Anfangswert

$\displaystyle y(1)=2 $

$ c = -\frac{1}{2}$ und

$\displaystyle y(x) = \frac{2x}{2x-1}\,. $

Für $ x_0 = 0$ ist die Differentialgleichung singulär. Hier ist nur der Anfangswert $ y_0 = 0$ möglich. Die Lösungsschar wird dadurch nicht eingeschränkt.
(Autoren: Fuchs/Höllig)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 6.6.2011