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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Poisson-Gleichung

Greensche Funktion der Poisson-Gleichung

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Die Greensche Funktion der Poisson-Gleichung

$\displaystyle \Delta u=f$   in$\displaystyle \ D $

mit $ D\subseteq\mathbb{R}^2$ oder $ D\subseteq\mathbb{R}^3$ hat die Form

$\displaystyle G(x,y)=\Phi(x-y)-\varphi(x,y)\ , $

wobei $ \Phi$ eine Fundamentallösung und $ \varphi(x,\cdot)$, $ x\in D$, eine auf $ \bar{D}$ harmonische Funktion ist mit den gleichen Randwerten wie $ \Phi$, d.h.

$\displaystyle G(x,y)=0,\ y\in S=\partial D\ , $

für $ x\in D$.

Mit Hilfe der Greenschen Funktion lässt sich eine Lösung der Poisson-Gleichung in der Form

$\displaystyle u(x)=\iiint\limits_D G(x,y)f(y)\,dy +\iint\limits_S u(y)n^{\operatorname t} {\operatorname{grad}\,}_yG(x,y)\,dy $

mit $ n$ der äußeren Einheitsnormalen von $ S$ darstellen.

Es folgt insbesondere, dass eine glatte Lösung $ u$ der Poisson-Gleichung durch $ f$ und die Randwerte von $ u$ auf $ S$ eindeutig bestimmt ist.

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  automatisch erstellt am 5.5.2011