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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Ebenen

Umrechnung zwischen den Ebenendarstellungen

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(i) Eine Ebene E sei gegeben durch einen Punkt $ P$ sowie zwei nicht parallele Vektoren $ \vec{u},\vec{v}$ , d.h. sie besitzt die Parameterdarstellung

$\displaystyle E: \vec{x} = \vec{p} + s\vec{u} + t\vec{v}, \quad s,t \in \mathbb{R} $

Man erhält zwei weitere Punkte $ Q$ und $ R$ , die ebenfalls auf der Ebene liegen und mit $ P$ keine Gerade bilden, durch

$\displaystyle \vec{q}=\vec{p} + \vec{u},\quad \vec{r}=\vec{p} + \vec{v}\, . $

Der Normalenvektor $ \vec{n}$ steht senkrecht auf $ \vec{u}$ und $ \vec{v}$ , ist also parallel zu $ \vec{u}\times\vec{v}$ . Der normierte Normalenvektor für die Hesse-Normalform ist somit

$\displaystyle \vec{n} = \sigma\frac{\vec{u}\times\vec{v}}{\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert} \; , $

wobei das Vorzeichen $ \sigma\in\{-1,1\}$ so gewählt werden muss, dass $ d=\vec{p}\cdot\vec{n}$ positiv ist.


(ii) Eine Ebene E sei gegeben durch drei Punkte $ P$ , $ Q$ und $ R$ , die ein echtes Dreieck bilden, d.h. sie besitzt die Drei-Punkte-Form

$\displaystyle E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\vec{p},\vec{q}-\vec{p},\vec{r}-\vec{p}\end{bmatrix}=0. $

Man erhält zwei Vektoren, die die Ebene aufspannen, durch

$\displaystyle \vec{u} = \overrightarrow{PQ},\quad \vec{v} = \overrightarrow{PR}\, . $

Aus diesen Vektoren lässt sich wie in (i) beschrieben die Hesse-Normalform gewinnen.


(iii) Eine Ebene E sei gegeben durch einen Punkt $ P$ sowie den Normalvektor $ \vec{n}$ , d.h. sie besitzt die Hesse-Normalform

$\displaystyle E: \vec{x}\cdot\vec{n}^0 = d, \quad d =\vec{p}\cdot\vec{n}^0 $

mit $ \vec{n}^0 = \sigma\cdot\vec{n}/\vert\vec{n}\vert$ und $ \sigma\in\{-1,1\}$ so gewählt, dass $ d\ge0$ .

Man erhält zwei Vektoren, die die Ebene aufspannen, indem man zwei linear unabhängige Vektoren senkrecht zu $ \vec{n}$ sucht. Zum Beispiel kann man

$\displaystyle \vec{u} = \vec{n} \times \vec{x},\quad \vec{v} = \vec{n} \times \vec{u}\, , $

wählen, wobei $ \vec{x}$ ein beliebiger Vektor $ \neq \lambda\vec{n}$ ist.

Aus diesen Vektoren lässt sich wie in (i) die Drei-Punkte-Form gewinnen.

(Autoren: Höllig/Weiß )
Eine Ebene E sei gegeben durch die Punkte

$\displaystyle P = (7,2,0),\quad Q = (1,-6,2),\quad R = (-1,-8,3) , $

d.h.

$\displaystyle E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}7\\ 2\\ 0\end{pmatrix},\... ...2\end{pmatrix},\vec{x}-\begin{pmatrix}-1\\ -8\\ 3\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0. $

Zwei Richtungen, die die Ebene aufspannen, erhält man als Differenzen der Ortsvektoren $ \vec{p}$ , $ \vec{q}$ und $ \vec{r}$ :

$\displaystyle \vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-6\\ -8\\ 2\end{pmatrix}, \quad \vec{v}=\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-8\\ -10\\ 3\end{pmatrix}. $

Damit ist eine Parameterdarstellung der Ebene

$\displaystyle E: \vec{x}=\begin{pmatrix}7\\ 2\\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}... ...pmatrix}+t\begin{pmatrix}-8\\ -10\\ 3\end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}_0 $

Ein Normalenvektor ist

$\displaystyle \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix}-24+20\\ -16+18\\ 60-64\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ 2\\ -4\end{pmatrix}$

Normierung ergibt

$\displaystyle \vec{n}^0 = \sigma\begin{pmatrix}-4\\ 2\\ -4\end{pmatrix}, \quad \sigma \in \{-1,1\} $

Für die Hesse-Normalform muss $ \sigma$ so gewählt werden, dass

$\displaystyle d = \sigma\, (7,\,2,\,0)\,\begin{pmatrix}-2/3\\ 1/3\\ -2/3\end{pmatrix}$

nicht negativ ist, also $ \sigma$ = -1. Damit erhält man

$\displaystyle E: \frac{2}{3}x_1 - \frac{1}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 = 4 $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 17.3.2011