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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Integralrechnung

Hauptsatz der Integralrechnung

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Ist $ F$ eine Stammfunktion einer stetigen Funktion $ f$ , d.h. $ f=F'$ , so gilt

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $

bzw. in Kurzschreibweise

$\displaystyle \int_a^b f = \left[ F \right]_a^b \,. $

Ein bestimmtes Integral lässt sich also als Differenz der Funktionswerte der Stammfunktion an den Intervallendpunkten berechnen.
Die Ableitung der Exponentialfunktion ist wieder die Exponentialfunktion und daher ist

$\displaystyle \int_a^b e^x\,dx = e^b-e^a\,. $

Die Fläche unter dem Graph zwischen $ a$ und $ b$ ist also gleich der eines Rechtecks mit Breite $ 1$ und dem Abstand der Funktionswerte als Höhe.

\includegraphics[width=0.7\linewidth]{hs_bild}

Die Ableitung der Logarithmusfunktion $ F(x)=\ln(x)$ ist $ F'(x) = 1/x\,,\, x\in \mathbb{R}^+$ und somit

$\displaystyle \int_a^b 1/x\,dx = \ln(b)-\ln(a) \,,\quad a,b \in \mathbb{R}^+\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)
Eine Stammfunktion von $ f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ ist $ F(x)=\arctan x$ . Folglich ist

$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = \arctan(1)-\arctan(0) = \frac{\pi}{4}\,. $

Durch Differenzieren verifiziert man, dass

$\displaystyle F(x)=-\ln ( \cos x) $

eine Stammfunktion von $ f(x)=\tan x$ ist:

$\displaystyle F'(x)=-\frac{1}{\cos x}(-\sin x). $

Folglich ist

$\displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan x\, dx = -\left[ \ln (\cos x) \right]_0^{\pi/4} = -\ln \left(\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) \approx 0.347\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)

Ein Planet der Masse $ M$ erzeugt ein Gravitationsfeld, bei dem auf einen Körper der Masse $ m$ die Kraft $ F(x) = \gamma \frac{mM}{x^2}$ ausgeübt wird. Dabei ist $ \gamma$ die Gravitationskonstante und $ x$ der Abstand der Schwerpunkte.

Eine Stammfunktion für $ 1/x^2$ ist $ -1/x$. Um einen Körper vom Abstand $ a$ zum Abstand $ b$ zu bringen, muss somit die Arbeit

$\displaystyle \int_a^b F(x)\,dx = \gamma mM \int_a^b \frac{1}{x^2}\,dx= -\left[ \gamma mM/x \right]_a^b = \gamma mM(1/a-1/b) $

verrichtet werden.

Für $ a$ gleich dem Radius des Planeten und $ b \to \infty$ lässt sich durch Gleichsetzen mit der kinetischen Energie die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit $ v$ bestimmen, d.h. die Geschwindigkeit, die notwendig ist, um das Gravitationsfeld eines Planeten zu verlassen:

$\displaystyle \frac{m}{2}v^2 = \gamma \frac{mM}{a} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\gamma \frac{2M}{a}}\,. $

Am Äquator ist für die Erde $ v = 11.2$km/s.
(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009