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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Vektorräume

Lineare Abbildung

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Eine Abbildung $ L: V \longmapsto W$ zwischen $ K$-Vektorräumen $ V$ und $ W$ heißt linear, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:

Dabei sind $ u,v \in V$ und $ \lambda \in K$ beliebige Vektoren bzw. Skalare. Insbesondere gilt $ L(0_V) = 0_W$ und $ L(-v)=-L(v)$.
Wie in der folgenden Abbildung illustriert ist, ist eine Drehung linear.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_drehung_bild1} \includegraphics[width=.4\linewidth]{b_drehung_bild2}

Die Summe $ v = v_1+v_2$ bildet mit den beiden Vektoren $ v_i$ ein Dreieck, dessen Form durch die Drehung unverändert bleibt, d.h., die Summe kann vor oder nach der Drehung gebildet werden. Dass eine Streckung um einen Faktor $ \lambda$ mit der Drehung vertauschbar ist, ist unmittelbar ersichtlich.

Analog lässt sich veranschaulichen, dass auch eine Spiegelung linear ist.

\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_spiegelung_bild1} \includegraphics[width=.4\linewidth]{b_spiegelung_bild2}

Eine Verschiebung von Punkten in der Ebene ist jedoch nicht linear. Weder die Additivität noch die Homogenität ist erfüllt. Für

$\displaystyle T:\ (x_1,x_2)\mapsto (x_1+1,x_2) $

und

$\displaystyle v_1 = (1,0),\, v_2 = (0,1),\,\lambda=2 $

gilt beispielsweise
$\displaystyle T(v_1+v_2) = (2,1)$ $\displaystyle \ne$ $\displaystyle (3,1) = T(v_1) + T(v_2)$  
$\displaystyle T(\lambda v) = (3,0)$ $\displaystyle \ne$ $\displaystyle (4,0) = \lambda T(v)\, .$  

(Autoren: Höllig/Hörner)
Die folgende Tabelle zeigt einige Beispiele von Abbildungen reeller Funktionen. Dabei ist jeweils angegeben, welche der beiden Bedingungen für Linearität erfüllt sind.

Abbildung additiv homogen
$ f\mapsto f^\prime$ X X
$ f\mapsto \vert f\vert$ - -
$ f\mapsto \int_0^1 f$ X X
$ f\mapsto \max f$ - -
$ f\mapsto f(0)$ X X
$ f\mapsto (\max f+\min f)/2 $ - X

Ein Beispiel für eine Abbildung, die additiv aber nicht homogen ist, ist die Abbildung $ T$, die einer komplexwertigen Funktion ihren Realteil zuweist. Hier gilt $ T(\mathrm{i}f)\neq \mathrm{i}T(f)$.

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009