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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Quadratische Kurven

Brennpunktstrahlen

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Bei einer Ellipse werden Brennpunktstrahlen in Brennpunktstrahlen reflektiert.

\includegraphics[ width=10.4cm ]{b_brennpunktstrahlen}

Zum Beweis wählt man als Hilfspunkte das Spiegelbild $ R$ des Brennpunkts $ F_+$ an der Tangente $ g$ und einen beliebigen Punkt $ Q\ne P$ auf $ g$ . Da $ Q$ außerhalb der Ellipse liegt, ist

$\displaystyle 2a = \vert\overrightarrow{PF_-}\vert + \vert\overrightarrow{PF_+}\vert < \vert\overrightarrow{QF_-}\vert + \vert\overrightarrow{QF_+}\vert\, . $

Ersetzt man die Strecken $ \overline{PF_+}$ und $ \overline{QF_+}$ durch ihre Spiegelbilder, so erhält man

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert + \vert\overrightarrow{PR}\vert < \vert\overrightarrow{QF_-}\vert + \vert\overrightarrow{QR}\vert\, , $

und folglich müssen $ F_-$ , $ P$ , $ R$ auf einer Geraden liegen. Damit ist $ \sphericalangle(F_-PQ)=\alpha$ .

Diese Spiegelungseigenschaft wird bei der Zertrümmerung von Nierensteinen ausgenutzt. Die Strahlen aus einer radialen Quelle im Brennpunkt $ F_-$ können durch einen elliptischen Reflektor im Brennpunkt $ F_+$ gebündelt werden.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 23.10.2009