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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Quadratische Kurven

Parabel

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Die Punkte $ P=(x,y)$ auf einer Parabel haben von einem Brennpunkt $ F$ und einer Leitgerade $ g$ den gleichen Abstand.

\includegraphics[ width=12.4cm ]{a_parabel}

Ist $ F=(0,f)$ und $ g:\,y=-f$ , so gilt für die Koordinaten

$\displaystyle 4f y = x^2 $

und

$\displaystyle r = \frac{4f\sin \varphi}{\cos^2 \varphi} $

für die Polarkoordinaten der Punkte $ P$ .

Die Äquivalenz der Darstellungen ist offensichtlich. Durch Gleichsetzen der quadrierten Abstände,

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF}\vert^2 = x^2 + (y-f)^2 = (y+f)^2 = \left(\text{dist}(P,g)\right)^2 $

erhält man die Koordinatenform. Substitution von

$\displaystyle x = r\cos \varphi,\quad y = r\sin \varphi $

führt auf die Polarform.
(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 23.10.2009